Вероятность события.

Вероятность события.

Некоторое событие называют случайным по отношению к данному опыту (испытанию), если при осуществлении этого опыта оно либо происходит, либо не происходит.

Примеры случайных событий:

· выпадение орла при подбрасывании монеты;

· выпадение шестёрки при бросании игральной кости;

· выигрыш по данному лотерейному билету;

· выход из строя электрического прибора в течение определённого времени.

Случайные события обычно определяют буквами А, В, С и т. д.

Событие U называется достоверным, если оно обязательно наступает в результате данного опыта.

Событие V называется невозможным, если оно заведомо не может произойти в результате данного опыта.

Предположим, что в результате некоторого опыта обязательно происходит одно из взаимно исключающих друг друга событий, причём каждое из них не разделяется на более простые. Такие события называют элементарными событиями (или элементарными исходами испытания).

Суммой (объединением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий.

Сумму событий А и В обозначают (или ).

Произведением (пересечением) событий А и В называется событие, которое считается наступившим тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В.

Произведение событий А и В обозначают АВ (или ).

Пример 1. Пусть в опыте с бросанием игральной кости события А и В определяются так: А – выпало число очков, кратное 2, В – выпало число очков, кратное 3.

Тогда событие означает, что выпало хотя бы одно из чисел 2, 3, 4, 6.

Событие АВ означает, что выпало число 6.

Пример 2. Пусть опыт заключается в том, что из колоды карт вынимается наудачу одна карта, и пусть рассматриваются следующие события: А – вынут король, В – вынута карта пиковой масти.

Тогда событие означает, что вынут или король, или карта пиковой масти.

Событие АВ означает, что вынут король пик.

События А и В называются равносильными (равными), если каждое из них происходит тогда и только тогда, когда происходит другое событие.

Например, в опыте с бросанием игральной кости событие А – выпала шестёрка, и событие В – выпало наибольшее число очков являются равносильными.

Для каждого события А можно рассматривать противоположное для него событие , которое считается наступившим тогда и только тогда когда событие А не наступает.

Пусть событие А, связанное с опытом, имеющим п равновозможных исходов, наступает тогда и только тогда, когда осуществляется один из каких-то т исходов, и не наступает, когда осуществляется любой из оставшихся исходов. Тогда говорят, что приводящие к наступлению события А, благоприятствуетсобытию А.

Вероятностью Р(А) события А в опыте с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов.

Приведённое определение вероятности называется классическим определением вероятности.

Из данной формулы следует, что

,

,

,

где V – невозможное событие, U – достоверное событие.

Задача 1.Бросается игральная кость. Найти вероятности событий А₁ и А₂, если А₁ – число выпавших очков кратно 3, А₂ – число выпавших очков чётное.

Решение.

Событию А₁ благоприятствуют два исхода (3 и6) , событию А₂ – три исхода (2, 4, 6) . Число всех исходов равно 6 .

; .

Ответ: ; .

Задача 2. Монета бросается дважды. Найти вероятность события А – хотя бы один раз выпадает орёл.

Решение.

Пусть О – появление орла, Р – появление решки. Тогда результат двух бросаний - появление одной из четырёх равновозможных комбинаций ОО, ОР, РО, РР (п = 4). Событию А благоприятствует первые три комбинации ОО, ОР, РО (т = 3).

.

Ответ: 0,75.

Задача 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность события А – произведение выпавших очков есть нечётное число.

Решение.

Результат бросания двух игральных костей – появление равновозможных упорядоченных пар чисел. .

Событию А благоприятствуют 9 пар ( ): 1 и 1; 1 и 3; 1 и 5; 3 и 1; 3 и 3; 5 и 1; 5 и 3; 5 и 5.

.

Домашнее задание.

№ 516. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 лампы окажутся исправными?

№ 517. Брошены три игральные кости. Какова вероятность того, что:

1) на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков?

2) сумма очков на всех трёх костях равна 4?

3) сумма очков на всех костях равна 5?