Векторные методы решения задач по стереометрии

Векторные методы решения задач по стереометрии

Координаты точки в декартовой (прямоугольной) системе координат Oxyz представляют собой проекции точки на координатные оси.

Векторыоднозначно определяются своими координатами , то есть являются свободными .

Длина вектора вычисляется по формуле .

Скалярное произведение векторов есть число = . Угол между векторами вычисляется по формуле .

Проекция вектора на вектор вычисляется в соответствии с рисунком по формуле .

Векторное произведение векторов есть вектор, удовлетворяющий трем условиям:

1) ,

3) образуют правую тройку векторов.

Для решения задач используются свойства 1) и 2).

Координаты векторного произведения удобно вычислять через определитель.

Если , , то .

Теоретические задачи

1. Нахождение углов.

а) Между прямыми.

Прямая в пространстве однозначно задается точкой и направляющим вектором (вектором параллельным прямой). Угол между прямыми вычисляется как острый угол между направляющими векторами прямых.

б) Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Для нахождения этого угла используется угол между направляющим вектором прямой и нормальным (перпендикулярным) вектором плоскости. При этом синус угла между прямой и плоскостью определяется по формуле:

в) Угол между плоскостями вычисляется как острый угол между нормальными векторами и этих плоскостей по формуле .

2. Нахождение расстояний.

а) Расстояние точки А до прямой в пространстве вычисляется по формуле .

Здесь N- произвольная точка на прямой, -угол между векторами и направляющим вектором прямой .

б) Расстояние от точки А до плоскости вычисляется по формуле = . Здесь М- произвольная точка плоскости, - нормальный вектор плоскости.

По этой же формуле вычисляется расстояние от прямой до плоскости , которой прямая параллельна. При этом А- произвольная точка прямой , М – произвольная точка плоскости .

в) Расстояние между параллельными прямыми вычисляется по формуле . Здесь М, N –соответственно произвольные точки на прямых , а - угол между вектором и общим направляющим вектором этих прямых .

г) Расстояние между скрещивающимися прямыми , которые задаются в пространстве соответственно: - точкой М и направляющим вектором ; - точкой N и направляющим вектором .

вычисляется по формуле = . Происхождение этой формулы объясняется следующим образом. Расстояние между скрещивающимися прямыми – суть расстояние от одной из них до плоскости , проходящей через другую прямую параллельно первой прямой . При этом вектор является нормальным для плоскости .

12 Следующая ⇒