ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Задание 1.Зная длины векторов m и n и угол a между этими векторами, найдите число C.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 1.
| Номер
варианта
| |m|
| |n|
| a
| a
| b
| C
| |
|
|
| 
| –5m – 4n
| 3m + 6n
| (–2a +  b) (a +2b)
| |
|
|
| p
| –2m + 3n
| 4m – n
| (3a +2b) (–2a + 4b)
| |
|
|
| 
| 5m – 2n
| – 3m – n
| (2a + 3b) (–a + 5b)
| |
|
|
|
| 5m + 2n
| – 6m – 4n
| (–a +  b) (2a +3b)
| |
|
|
| 
| 3m –2n
| – 4m + 5n
| (2a –3b) (5a + b)
| |
|
|
|
| 2m – 5n
| –3m + 4n
| (3a –4b) (2a +3b)
| |
|
|
|
| 3m + 2n
| –4m – 2n
| (a – 3b) (0a + b)
| |
|
|
| p
| 5m + 2n
| m – 4n
| (a –2b) (3a – 4b)
| |
|
|
|
| –3m – 2n
| m + 5n
| (– a +2b) (a +b)
| |
|
|
|
| 5m – 3n
| 4m + 2n
| (2a – b) (3a – 0b)
| |
|
|
|
| –2m + 3n
| 3m – 6n
| (3a –  b) (a –2b)
| |
|
|
|
| –2m – 4n
| 3m + n
| (– a +3b) (a +2b)
| |
|
|
| 
| 4m + 3n
| –m + 2n
| (2a –3b) (a +2b)
| |
|
|
|
| –2m + 3n
| 5m + n
| (–3a +4b) (2a +3b)
| |
|
|
|
| 4m – 3n
| 5m + 2n
| (–3a +2b) (2a –b)
| |
|
|
| p.
| –5m + 3n
| 2m + 4n
| (–3a + b) (–a +b)
| |
|
|
|
| 5m – 2n
| 3m + 4n
| (2a + 3b) (a – 2b)
| |
|
|
|
| 7m – 3n
| 2m + 6n
| (3a – b) (2a + b)
| |
|
|
| 
| 4m – 5n
| –m + 3 n
| (2a – 5b) (a + 2b)
| |
|
|
|
| 3m – 5n
| –2m + 3n
| (4a +5b) (a – 2b)
| |
|
|
| p
| –5m – 6n
| 2m + 7n
| (–2a + 5b) (a + 3b)
| |
|
|
|
| –7m + 2n
| 4m + 6n
| (a + 2b) (–a + 3b)
| |
|
|
|
| 5m + 4n
| –6m + 2n
| (3a +2b) (a – b)
| |
|
|
|
| –5m – 7n
| –3m + 2n
| (–3a +4b) (–a + 2b)
| |
|
|
|
| 5m – 8n
| –2m + 3n
| (2a –3b) (a + 2b)
| |
|
|
| 
| 2m + n
| 3m – 2n
| ( a + b) (a – 3b)
| |
|
|
|
| –2m + 4n
| –m + 5n
| (–4a +2b) ( a + b)
| |
|
|
| 
| 4m – 3n
| –6m – n
| (a – 2b) (a – b)
| |
|
|
| p.
| 3m + n
| 4m + 2n
| (–a – 3b) (2a + 4b)
| |
|
|
|
| –2m – n
| –6m + 4n
| (–3a + b) (–a + 2b)
| Задание 2.Используя рисунок, представьте векторы a и b как линейные комбинации векторов е1 и е2.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 2.
1 – 15.
Дан параллелограмм ABCD. Точки E, F, M, N делят стороны AB, BC, CD, DA в отношении 1 : 2, считая от точек А, В, С, D соответственно; O – пересечение диагоналей параллелограмма.
16 – 30.
Дана равнобокая трапеция ABCD. Точки E, F, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Точка О пересечения диагоналей трапеции делит их в отношении 1:2, считая от вершин B и D.
Задание 3.Используя рисунок, найдите координаты векторов a и b в базисе (е1,e2, е3).
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки E, F, M, N делят ребра AB, BC, CD, DA в отношении 1:2 соответственно. Точки E1, F1, M1, N1 – середины ребер A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 соответственно. Точки P, R, S, T делят ребра AA1, BB1, CC1, DD1 в отношении 1:3 соответственно. O – точка пересечения диагоналей параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 3.
| Номер
варианта
| a
| b
| е1
| е2
| е3
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
| 
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
|
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
|
Задание 4.Для векторовa, b, c найдите координаты вектора d; найдите проекцию вектора b навектор c; определите тип угла между векторами а и b–c (острый, прямой, тупой).
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 4.
| Номер
варианта
| a
| b
| c
| d
| |
| (2;6)
| (–1;3)
| (–5;7)
| 0.5a + 2b – c
| |
| (–2;3)
| (3;–4)
| (2;5)
| 2a + b + c
| |
| (–3;–2)
| (1;–5)
| (–4;3)
| a – b + 2c
| |
| (–6; 3)
| (4;1)
| (–3;–3)
| a + 2b + 2c
| |
| (2;5)
| (–3;2)
| (–2;–6)
| a + 2b + c
| |
| (5;–4)
| (3;4)
| (–5;2)
| a + b + 2c
| |
| (–2;–7)
| (–6;3)
| (1;–2)
| a – b – 4c
| |
| (3;5)
| (–4;–2)
| (1;–6)
| a + 2b + c
| |
| (–2;–6)
| (–3;5)
| (6;–2)
| a – b– c
| |
| (0;8)
| (–6;2)
| (–3;–3)
| 0.5a + b – 2c
| |
| (–3;–1)
| (2;5)
| (–1;–4)
| –2a – b + c
| |
| (5;5)
| (1;9)
| (–2;–4)
| a – b – 2c
| |
| (1;7)
| (–6;2)
| (–4;–2)
| 2a – b – c
| |
| (6;2)
| (–1;8)
| (0;–5)
| a – b + 2c
| |
| (2;–5)
| (–3;–6)
| (1;4)
| 2a – b – 2c
| |
| (–4;0)
| (–2;–3)
| (1;1)
| a + 2b – 3c
| |
| (1;3)
| (–2;5)
| (–1;–1)
| 3a – b +2c
| |
| (6;8)
| (–5;–1)
| (3;1)
| 0.5a + b – 2c
| |
| (–2;–6)
| (–4;2)
| (–1;5)
| a + 0.5b + c
| |
| (1;6)
| (5;0)
| (–4;2)
| a + b + 2c
| |
| (6;8)
| (1;–1)
| (–2;–2)
| 0.5a –3b + c
| |
| (–2;3)
| (5;–2)
| (8;12)
| a + b – 0.5c
| |
| (6;1)
| (1;4)
| (–4;–1)
| a – 2b – 2c
| |
| (–6;–10)
| (–1;–2)
| (2;3)
| 0.5a – 2b + c
| |
| (2;8)
| (–6;1)
| (–4;–1)
| 0.5a + b + 2c
| |
| (–4;1)
| (–6;–9)
| (5;3)
| a –  b + c
| |
| (3;2)
| (1;7)
| (–4;–5)
| 2a – b + c
| |
| (0;–7)
| (–4;–1)
| (1;2)
| –a –2b –2c
| |
| (3;4)
| (–5;1)
| (1;5)
| 2a + b –2c
| |
| (–2;5)
| (4;1)
| (0;6)
| –2a + 2b + 0.5c
|
Задание 5.Для векторовa, b, c найдите координаты вектора r; найдите координаты векторного произведения a⨯b; вычислите смешанное произведение a·b·c; укажите, является ли тройка векторов (a, b, c) правой или левой.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 5.
| Номер
варианта
| A
| b
| c
| r
| |
| (5;4;1)
| (–3;5;2)
| (2;–1;3)
| a + b – 2c
| |
| (2;–1;4)
| (–3;0;–2)
| (4;5;–3)
| 2a +3b – c
| |
| (–1;1;2)
| (2;–3;–5)
| (–6;3;–1)
| 4a +2b + c
| |
| (1;3;4)
| (–2;5;0)
| (3;–2;–4)
| a – b + 2c
| |
| (1;–1;1)
| (–5;–3;1)
| (2;–1;0)
| 5a + b – 2c
| |
| (3;1;2)
| (–7;–2;–4)
| (–4;0;3)
| a + b – c
| |
| (–3;0;1)
| (2;7;–3)
| (–4;3;5)
| 2a + b – c
| |
| (5;1;2)
| (–2;1;–3)
| (4;–3;5)
| a + 2b + c
| |
| (0;2;–3)
| (4;–3;–2)
| (–5;–4;0)
| a + b + c
| |
| (3;–1;2)
| (–2;3;1)
| (4;–5;–3)
| 3a + 2b – c
| |
| (5;3;1)
| (–1;2;–3)
| (3;–4;2)
| a + 2b + c
| |
| (3;1;–3)
| (–2;4;1)
| (1;–2;5)
| 2a + b + c
| |
| (6;1;–3)
| (–3;2;1)
| (–1;–3;4)
| a + 2b + 2c
| |
| (4;2;3)
| (–3;1;–8)
| (2;–4;5)
| a + b + c
| |
| (–2;1;3)
| (3;–6;2)
| (–5;–3;–1)
| a + b – c
| |
| (1;3;6)
| (–3;4;–5)
| (1;–7;2)
| a + b + c
| |
| (7;2;1)
| (5;1;–2)
| (–3;4;5)
| a – b – c
| |
| (3;5;6)
| (–2;7;–5)
| (6;–2;1)
| a – b – c
| |
| (5;3;2)
| (2;–5;1)
| (–7;4;–3)
| a + b + c
| |
| (11;1;2)
| (–3;3;–4)
| (–4;–2;7)
| a + b + c
| |
| (9;5;3)
| (–3;2;1)
| (4;–7;4)
| a + 2b + c
| |
| (7;2;1)
| (3;–5;6)
| (–4;3;–4)
| a + b + c
| |
| (1;2;3)
| (–5;3;–1)
| (–6;4;5)
| 2a + b – c
| |
| (–2;5;1)
| (3;2;–7)
| (4;–3;2)
| a + b + c
| |
| (3;1;2)
| (–4;3;–1)
| (2;3;4)
| a + b – 2c
| |
| (2;1;1)
| (–3;2;0)
| (1;–1;–1)
| 2a + 2b – 3c
| |
| (3;2;5)
| (4;–2;1)
| (3;3;3)
| a – 2b – c
| |
| (–4;2;1)
| (3;–3;0)
| (1;1;1)
| 2a + 2b – c
| |
| (5;6;–2)
| (–4;1;1)
| (2;1;1)
| a + 2b – 2c
| |
| (3;1;1)
| (0;–1;2)
| (–4;3;1)
| 2a – 3b + c
|
Задание 6.Для данных векторов aи b подобрать:
1) вектор c, коллинеарный вектору a;
2) вектор n, ортогональный вектору a;
3) вектор e так, чтобы тройка векторов a, b, e была компланарна;
4) вектор d так, чтобы упорядоченная тройка a, b, d имела заданную ориентацию.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 6.
| Номер варианта
| a
| b
| Ориентация
тройки (a, b, d)
| |
| (1;3;4)
| (–2;5;0)
| Правая
| |
| (3;1;2)
| (–7;–2;–4)
| Левая
| |
| (–1;1;2)
| (2;–3;–5)
| Правая
| |
| (2;–1;3)
| (–3;5;2)
| Левая
| |
| (1;–1;1)
| (–5;–3;1)
| Правая
| |
| (2;–1;4)
| (–3;0;–2)
| Левая
| |
| (–3;0;1)
| (2;7;–3)
| Правая
| |
| (3;–1;2)
| (–2;3;1)
| Левая
| |
| (0;2;–3)
| (4;–3;–2)
| Правая
| |
| (6;1;–3)
| (–3;2;1)
| Левая
| |
| (1;3;6)
| (–3;4;–5)
| Правая
| |
| (3;1;–3)
| (–2;4;1)
| Левая
| |
| (1;–7;2)
| (4;–3;5)
| Правая
| |
| (4;2;3)
| (–3;1;–8)
| Левая
| |
| (–2;1;3)
| (3;–6;2)
| Правая
| |
| (5;3;1)
| (–1;2;–3)
| Левая
| |
| (6;–2;1)
| (5;1;–2)
| Правая
| |
| (3;5;6)
| (–2;7;–5)
| Левая
| |
| (5;3;2)
| (2;–5;1)
| Правая
| |
| (–7;4;–3)
| (–3;3;4)
| Левая
| |
| (4;–7;4)
| (11;1;2)
| Правая
| |
| (7;2;1)
| (–4;3;–4)
| Левая
| |
| (1;2;3)
| (–6;4;5)
| Правая
| |
| (–2;5;1)
| (3;2;–7)
| Левая
| |
| (–5;3;–1)
| (–4;3;–1)
| Правая
| |
| (4;–3;2)
| (3;1;2)
| Левая
| |
| (3;–5;6)
| (2;3;4)
| Правая
| |
| (9;5;3)
| (–3;2;1)
| Левая
| |
| (–4;–2;7)
| (7;2;1)
| Правая
| |
| (5;1;2)
| (–2;1;–3)
| Левая
|
|
