Модуль №2. Векторная алгебра. Вариант 1. Вариант 2

Модуль №2. Векторная алгебра

Вариант 1

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(-2,3); В(3,3); С(2,-2). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если .

4. Под действием силы ={2,-3,-1} материальная точка переместилась из точки A(2,-2,1) в точку B(7,-3,1). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={0,-3,6}; ={3,-6,2}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы где . Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ;

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(4,2,-1); B(3,0,4); C(0,0,4).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах =2 -3 ; = +2 , где .

9. Даны три силы, приложенные к точке A(2,1,2) = -2 + ; = + + ; =-2 -3 + . Найти момент их равнодействующей относительно т. B(0,-1,-1).

10. Установить, компланарны ли векторы =4 -2 +4 ; =3 -4 +7 ; = +2 -3 ;

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A : A (2,4,-6); A (1,3,5); A (0,-3,7); A (3,2,3). Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 2

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ;2) ;3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(-1,5); В(3,5); С(4,-1). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если =3 ; =- +3 ; =-2 -2 .

4. Под действием силы ={2,-3,-1} материальная точка переместилась из точки A(-1,2,3) в точку B(3,1,2). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={2,-2,2}; ={3,0,-4}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы =3 +2 ; =2 - , где . Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ;

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(1,1,2); B(2,3,-1); C(2,-2,4).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

=3 +2 ; =2 - , где

9. Сила =3 -2 + приложена к точке A(3,2,-1). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(3,1,-1).

10. Установить, компланарны ли векторы = - +2 ; =3 +5 ; =5 +3 +4 ;

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A A (-2,3,5);

A (1,-3,4); A (7,8,-1); A (-1,2,-1).Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 3

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(5,3); В(-2,4); С(3,-2). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если =2 ; =- -2 ; =-2 +3 .

4. Под действием силы ={2,-1,-3} материальная точка переместилась из точки A(3,-2,1) в точку B(5,-3,-2). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={2,-2,-2}; ={-2,3,-6}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы = -2 ; =3 + , где .

Найти: 1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ;

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(2,3,1); B(4,1,-2); C(6,3,7).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

= -2 ; =3 + , где

9. Сила =3 +2 -4 приложена к точке A(2,-1,1). Найти величину и направление момента этой силы относительно начала координат.

10. Установить, компланарны ли векторы =6 + - ; =4 -2 +3 ; =8 + ;

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A . A (1,3,5); A (0,2,0); A (5,7,9); A (0,4,8). Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 4

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(5,-2); В(2,4); С(-2,3). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если =4 ; =-2 +3 ; =4 +2 .

4. Под действием силы ={-2,0,3} материальная точка переместилась из точки A(1,2,-3) в точку B(-2,5,7). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={2,-3,1}; ={-2,6,3}. Найти:

1) ( , ); 2) ;3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы =3 -5 ; =2 + , где

Найти: 1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ;

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(1, 3, 2); B(3, 2, 7);

C(-2, 1, 2).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

=3 -5 ; =2 + , где .

9. Сила =2 +3 + приложена к точке A(-1,1,2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(-1,2,2).

10. Установить, компланарны ли векторы =2 - +2 ; =3 +7 ; = +2 -3 ;

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A A (3,-5,2); A (4,5,1); A (-3,0,-4); A (-4,5,-6). Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 5

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(-2,5); В(3,5); С(5,-2). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если = + ; = -2 ; =3 -3 .

4. Под действием силы ={1,-5,1} материальная точка переместилась из точки A(0,2,-1) в точку B(5,1,3). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={3,1,-1}; ={3,0,4}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы =3 - ; =2 +5 , где . Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ;

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(4,5,-2); B(-1,3,0); C(6,1,5).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

= 3 - ; = 2 +5 , где .

9. Сила =3 +2 приложена к точке A(1,3,-2): Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(1,2,-1).

10. Установить, компланарны ли векторы

=-3 +12 +6 ; =2 +3 -4 ; = +3 +2 ;

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A A (4,5,2); A (3,0,1); A (-1,4,2); A (5,7,8). Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 6

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(5,-3); В(-1,2); С(3,1). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если =-2 +3 ; =- -3 ; =5 +2 .

4. Под действием силы ={2,-1,3} материальная точка переместилась из точки A(-2,0,5) в точку B(1,-3,6). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={3,-1,4}; ={-3,0,4}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы = 2 + ; = -2 , где . Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ;

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(-3, -2, 0); B(3, -3, 1); C(5, 0, 2).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

=2 + ; = -2 , где .

9. Сила =2 -3 приложена к точке A(1,1,5). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(3,-2,2).

10. Доказать, что четыре данные точки A(-3,-2,0); B(5,0,2); C(3,-3,1); D(-1,1,1) лежат в одной плоскости.

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A A (5,1,0); A (7,0,1); A (2,1,4); A (5,5,3). Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 7

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А(-4, 2); В(2, 3); С(0, 5). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если =5 ; =2 +3 ; =4 +2 .

4. Под действием силы ={3,-5,1} материальная точка переместилась из точки A(0,-3,2) в точку B(5,-5,3). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={2,-1,3}; ={-2,3,6}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы =2 +4 ; = - , где . Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) .

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(3,3,-2); B(0,-3,4); C(0,-3,0).

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

=2 -4 ; = - , где .

9. Сила = -2 -3 приложена к точке A(2,1,2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(5,1,3).

10. Установить, компланарны ли векторы = -2 ; = + +4 ; =3 -3 +4 ;

11. Даны координаты вершин пирамиды A A A A A (4,2,-1); A (3,0,4); A (0,0,4); A (5,-1,-3). Требуется средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами A A и A A ;

площадь грани A A A ;

проекцию вектора на

объем пирамиды.

Вариант 8

1. Векторы и даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

2. На плоскости даны точки А (3,3); В(-1,3); С(5,-2). В начале координат приложены силы . Построить равнодействующую . Выразить силы через единичные векторы и координатных осей. Найти величину равнодействующей .

3. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и , если =-2 -2 ; =-2 +3 ; =4 + .

4. Под действием силы ={3, -4, 5} материальная точка переместилась из точки A(2,1,-3) в точку B(3,0,-1). Вычислить работу силы .

5. Даны векторы ={2,3,4}; ={-6,-2,3}. Найти:

1) ( , ); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Даны векторы =3 +2 ; =3 - , где ((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228469']=__lxGc__['s']['_228469']||{'b':{}})['b']['_699880']={'i':__lxGc__.b++};