Рабочий лист.

Рабочий лист.

Предмет	Математика
Группа	№ 5 2 курс
Тема урока	Уравнение плоскости, сферы и прямой.
ФИО преподавателя	Тимиршина Алия Мунзиловна
Где находится задание:
Учебник	М.И. Башмаков Математика, задачник, 2017г
Ссылка	http://www.belgtis.ru/images/obuch/pm/MatematikaZadachnikBashmakov.pdf
Сроки выполнения задания	21.09.2020 до 17:00
Как выполнять задание	Написать конспект и выполнить домашнее задание.
Домашняя работа	М.И. Башмаков Математика, задачник, 2017г , стр.106 № 5.30, стр.116 №5.54
Обратная связь	Выполненные работы отправить личным сообщением ВК
Как узнать отметку о выполненном задании	Оценки будут выставлены в личный журнал преподавателя и отправлены в беседу ВК.

Тема: Уравнение плоскости, сферы и прямой.

Выведем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Исходные данные

Оказывается, этого достаточно, чтобы задать плоскость. Действительно, раз вектор перпендикулярен плоскости, это равносильно тому, что он перпендикулярен двум пересекающимся прямым данной плоскости. Если рассмотреть такие две прямые, проходящие через точку , они однозначно задают плоскость по следствию из аксиомы.

Как задать уравнение плоскости? Вообще, что такое уравнение плоскости? Уравнение плоскости – это уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек этой плоскости и только они.

Пусть – произвольная точка пространства, отличная от . Эта точка лежит в нашей плоскости тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. А это в свою очередь означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю. (См. Рис. 2.)

Рис. 2.

Запишем координаты вектора : . Тогда скалярное произведение . Домножим всё на и раскроем скобки. Получим:

Обозначая через , приходим к общему (стандартному) виду уравнения плоскости:

Обратите внимание, что для каждой плоскости существует такой набор коэффициентов (и он не один, с точностью до домножения на число), который задает ее уравнение (а значит, и саму плоскость). Кстати, верно и обратное утверждение: любое уравнение такого вида задает плоскость. Действительно, по первым трем коэффициентам можно однозначно определить вектор, перпендикулярный плоскости, а коэффициент помогает установить необходимую точку из плоскости.

Уравнение плоскости в пространстве напоминает уравнение прямой на плоскости – только добавилась еще одна переменная (из-за трёхмерности пространства). Обратите внимание, что в данном уравнении – координаты произвольной точки пространства и уравнение обращается в верное равенство тогда и только тогда, когда точка лежит в плоскости .

Также отметим, что коэффициенты при переменных в данном равенстве – это просто координаты вектора, перпендикулярного нашей плоскости. И это полезно запомнить: теперь, зная координаты вектора, перпендикулярного плоскости, и одной точки, лежащей в плоскости, мы легко можем построить ее уравнение.

Но верно и обратное утверждение: если дано уравнение плоскости, то легко можно выписать координаты вектора, ей перпендикулярного. Кстати, такой вектор называют нормальным или вектором нормали к плоскости.

Но ведь таких векторов бесконечно много. Конечно, но и уравнений плоскости бесконечно много – мы же можем домножить его на любую константу. Это и позволит получить любой нормальный вектор, коллинеарный исходному.

Примеры

Пример 1. Дан единичный куб . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Система координат задана. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение:

Найдем координаты интересующих нас вершин: , , .

Значит, . Стандартное уравнение плоскости имеет вид: . Но ведь коэффициенты при переменных в данном равенстве – это просто координаты вектора, перпендикулярного нашей плоскости, то есть координаты вектора .