Методические указания к решению задач по теме «Матрицы».

Методические указания к решению задач по теме «Матрицы».

Задание 1.Дана функция , где переменная является матрицей соответствующего порядка, есть единичная матрица того же порядка. Найти , если .

Решение. Подставим в функцию вместо матрицы матрицу , а также единичную матрицу второго порядка.Выполняя действия умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

. ■

Задание 2.Решить матричное уравнение: , если и .

Решение. Выразим матрицу из уравнения, выполним операции умножения матриц на число и найдем разность матриц:

■

Задание 3.Найти , если .

Решение. Найдем квадрат матрицы , умножая матрицу на себя, получим:

. Аналогично рассуждая, будем иметь:

. ■

Задание 4.Выполнить действия над заданными матрицами:

Решение.

= = + = +10 = 2. Здесь матрица 1-го порядка отождествляется с ее элементом. ■

Задание 5.Дана матрица . Найти и .

Решение.

Транспонируем матрицу , заменяя все строки столбцами с теми же номерами:

. Найдем произведение матриц:

;

Очевидно, что . Следовательно, матрицы и не являются перестановочными. ■

Задание 6.Привести к каноническому виду матрицу .

Решение. Применяя элементарные преобразования к строкам и столбцам матрицы, получим:

■

Здесь мы произвели элементарные преобразования строк и столбцов матрицы в следующей последовательности:

o переставили 1-ю и 3-ю строки;

o прибавили к элементам 3-ей строки соответствующие элементы 1-ой строки, умноженные на (–3);

o прибавили к элементам 3-го столбца соответствующие элементы 1-го столбца, умноженные на (–1);

o переставили 2-ю и 3-ю строки;

o прибавили к 3-ей строке 2-ю;

o прибавили к 3-му столбцу 2-ой. ■

Задание 7.Даны три матрицы , , . Определить, в какой последовательности можно перемножить данные матрицы. Найти это произведение матриц.

Решение. Известно, что число столбцов первой из перемножаемых матриц должно быть равно числу строк второй матрицы. Поэтому нельзя найти и . Найдем произведение матрицы размерности на матрицу размерности . В результате мы получим матрицу размерности , которую можно умножить на матрицу размерности . Итоговая матрица будет иметь размерность , т.е. отождествляется с числом.

Таким образом, будем иметь:

■