Практикум по аналитической геометрии (24.09.20 г.)

Практикум по аналитической геометрии (24.09.20 г.)

Задача 1.Даны две прямые, каждая из которых задана точкой и направляющим единичным вектором:

Пр 1: ;

Пр 2: .

Определить их взаимное расположение и его характерные величины. Составить программу на Matlab, решающую эту задачу.

Рисунок 1 – Общее расположение двух прямых и их характерные величины

Решение.

Возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых.

Случай 1. Прямые совпадают.

Случай 2. Прямые параллельны; характерной величиной является расстояние между ними;

Случай 3. Прямые пересекаются; характерным объектом является точка их пересечения;

Случай 4. Прямые скрещиваются; характерным объектами являются: точки на каждой из них, между которыми проходит кратчайший отрезок, и длина этого отрезка.

Прежде всего, зададим две прямые их каноническими уравнениями:

. (1)

Рассмотрим случай 1. Прямые совпадают, если существует по крайней мере две различные точки, через которые проходят обе прямые. Очевидно, что достаточно проверить условия:

и .

Это эквивалентно выполнению следующих уравнений:

(2)

которые являются необходимыми и достаточными условиями совпадения двух прямых.

Рассмотрим случай 2. Прямые параллельны, если координаты их направляющих векторов пропорциональны друг другу, а точки - различны, т.е.:

(3)

Эти условия являются необходимыми и достаточными для выполнения Случая 2.

Найдем расстояние между прямыми. Для этого возьмем, например, точку на первой прямой и найдем ближайшую к ней точку на второй прямой.

Рисунок 2 – Случай параллельных прямых

Вектор должен быть перпендикулярен обеим прямым, в частности, Пр. 1, поэтому скалярное произведение на должно быть равно нулю:

. (4)

Второе уравнение получается, если учесть, что точка :

(5)

Три последних уравнения приводятся к виду:

(6)

где учтены первые два уравнения в (3).

Найдя из (6) координаты точки , далее находим кратчайшее расстояние между прямыми как модуль вектора :

. (7)

Рассмотрим случай 3. Для определения того, пересекаются ли данные прямые, перейдем от канонических их уравнений к соответствующим параметрическим:

(8)

где и - параметры вдоль первой и второй прямых.

Рисунок 3 – Случай пересечения двух прямых

Пусть прямые пересекаются в некоторой точке (см. рис. 3), тогда в этой точке параметр принимает некоторое значение , а параметр - значение . И эти параметры должны удовлетворять шести уравнениям в (8).

Возьмём первые два уравнения из каждой из подсистем в (8) и приравняем их правые части, поскольку левые одинаковы и равны :

. (9)

Аналогично поступаем со вторыми и третьими уравнениями этих двух подсистем:

. (10)

Три уравнения (9) и (10) образуют систему относительно неизвестных параметров и , но эта система переопределена. Возьмем такие два уравнения из этих трех, чтобы определитель полученной системы был ненулевой. Например, если для первых двух уравнений выполнено:

, (11)

тогда из них можно найти неизвестные и :

. (12)

Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли найденная пара третьему уравнению, т.е. второму в (10):

. (13)

Если (13) выполняется, то прямые Пр 1 и Пр 2 пересекаются в точке с координатами:

. (14)

В противном случае – не пересекаются.

Заметим, что, если определитель , то необходимо взять другой набор из двух уравнений для определения значений параметров , например, первое и третье, или второй и третье уравнения, и если соответствующий определитель не нулевой, то проделать по аналогии все вышеперечисленные действия.

Рассмотрим случай 4. Если прямые не совпадают, не параллельны и не пересекаются, тогда они скрещиваются.

В этом случае существуют такие точки , , что длина вектора есть кратчайшее расстояние между этими прямыми. При этом направляющий вектор этого отрезка перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых: (см. рис. 4).

Вначале найдем . В силу предыдущего, скалярные произведения вектора на нулевые:

поэтому:

(15)

Рисунок 4 – Случай двух скрещивающихся прямых

Можно показать, что одно из двух решений (15) дается равенствами:

, , (16)

где

. (17)

Заметим, что если , то надо выразить через , либо через , чтобы соответствующий знаменатель в формулах, аналогичных (16), не был равен нулю.

Далее, поскольку по условию , и вектор коллинеарен ,

то можно получить следующую систему уравнений относительно координат точек и :

(18)

Если определитель этой системы отличен от нуля, тогда прямые скрещиваются. Тогда искомое кратчайшее расстояние между этими прямыми находится по формуле:

. (19)