Вопросы к коллоквиуму № 1 по функциональному анализу

Вопросы к коллоквиуму № 1 по функциональному анализу

( 3–й курс, 2020–21 учеб. год )

Эквивалентные (равномощные) множества (определение). Примеры равномощных множеств. Теорема Бернштейна (без доказательства).
Счетные множества (определение). Примеры счетных множеств.
Теорема о несчетности множества точек отрезка (с доказательством). Множества

мощности континуума (определение). Примеры множеств мощности континуума.

Определение метрического пространства.
Примеры метрических пространств ( Rⁿ_p , С[a,b], l_p , m ).
Открытые и замкнутые шары в метрическом пространстве, ограниченные множества

(определения).

Сходимость в метрических пространствах (определение).
Свойства сходящихся последовательностей (4 свойства) (с доказательством).
Сходимость в пространстве Rⁿ_p (взаимосвязь между покоординатной сходимостью и

сходимостью по метрике) (с доказательством).

10. Сходимость в пространстве С[a,b] (взаимосвязь между поточечной сходимостью,

равномерной сходимостью и сходимостью по метрике) (с доказательством).

11. Сходимость в пространстве l_p (взаимосвязь между покоординатной сходимостью и

сходимостью по метрике) (с доказательством).

12. Определение фундаментальной последовательности. Фундаментальность и

сходимость последовательности (взаимосвязь) (с доказательством).

13. Определение полного метрического пространства. Примеры полных и неполных

метрических пространств.

14. Точки прикосновения и замыкание множества (определения и примеры).

15. Свойства операции замыкания (4 свойства) (с доказательством).

16. Теорема о точке прикосновения множества (с доказательством).

17. Предельные и изолированные точки (определения и примеры).

18. Замкнутые множества (определение и примеры). Теорема об объединении и

пересечении замкнутых множеств (без доказательства).

19. Внутренние точки и внутренность множества (определения и примеры). Свойства

операции взятия внутренности множества (4 свойства) (с доказательством).

20. Теорема о связи между операциями замыкания взятия внутренности множества

(с доказательством).

21. Открытые множества (определение и примеры). Теорема о связи открытости

множества и замкнутости его дополнения (с доказательством).

22. Теорема об объединении и пересечении открытых множеств (без доказательства).

23. Теорема о структуре открытого множества на прямой (без доказательства).

24. Теорема о полноте подпространства, порожденного замкнутым множеством

(без доказательства).

25. Теорема о вложенных шарах (без доказательства).

26. Всюду плотные и нигде не плотные множества (определения и примеры).

27. Непрерывные отображения метрических пространств (определения по Коши и по

Гейне). Эквивалентность этих определений (с доказательством).

28. Равномерно непрерывная функция (определение). Условие Липшица.

29. Принцип сжимающих отображений (без доказательства).

30. Относительно компактные и компактные множества (определения и примеры).

31. Теорема о функционале, непрерывном на компактном множестве

(с доказательством).

32. Критерий относительной компактности в конечномерном пространстве

(без доказательства).

33. Определение равностепенно непрерывного множества. Критерий относительной

компактности в C[a,b] (теорема Арцела) (без доказательства).

Литература ( см. https://vk.com/func_an )

1. Смагин В.В. Метрические пространства. Учеб. пособие. 2005 г.

2. Конспект лекции "Некоторые сведения о множествах".

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 1989.

4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.