Всероссийская олимпиада школьников

Всероссийская олимпиада школьников

2020 – 2021 учебный год

Школьный этап

Математика

10 класс

Продолжительность – 60 минут

Максимальный балл – 35

Задание 1. (7 баллов) Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что n также степень двойки.

Задание 2. (7 баллов)

Расставьте знаки модуля так, чтобы получилось верное равенство:

4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22

Задание 3. (7 баллов) Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – целое положительное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счёт пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счёт Федя, если известно, что комиссия менее 30%?

Задание 4. (7 баллов)

Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое.

Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?

Задание 5. (7 баллов) В четырехугольнике диагонали перпендикулярны.

В него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Можно ли утверждать, что это квадрат?