Дисциплина: «Математика». Преподаватель: Григорьева Н.С.. Лекция № 2. Тема. Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям.

Задача 1 (о мгновенной скорости). Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю.

Задача 2 (о скорости химической реакции) (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время количество прореагировавшего вещества будет , т.е. за время количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени надо устремить к нулю, то естьgПусть

Поскольку с помощью предела решают кроме рассмотренных ещё и много других важнейших задач (например: задача о величине переменного тока, который течет в проводнике; нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при его нагревании, угловой скорости тела, которое вращается и многие др), то целесообразно всесторонне изучить данный предел, в частности, указать способы его вычисления. Этот предел в математике и носит название производной.

2. Производная, ее геометрический и физический смысл

Определение: Производной данной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее стремится к нулю и такой предел существует и конечен.

Заметим, что производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f'(x), y', . Конкретное значение производной при x=a обозначается f'(a) или y'|_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).

2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).

3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx→0.

Итак, мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг - рассмотреть правила дифференцирования.

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

Основные правила дифференцирования выражаются формулами:

Производная от любого числа равна нулю:

Производная произведения постоянной на функции:

Производная алгебраической суммы функций:

Производная произведения функций:

Производная частного (дроби):

Производная сложной функции:

Доказательство формулы 1.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Тогда

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Следовательно,

.

(построить вывод следствия)

4. Производная произведения/частного

Доказательство формулы 2.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому

Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.

(построить вывод следствия)

Доказательство формулы 3.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.

(построить вывод следствий)

Производные функций

Элементарные функции  (с - постоянная) х¢ = 1  (а - постоянная)	Частные случаи а) ; б) ; ;  ;  ; ¢ =
Сложные функции	Частные случаи а)     б)  ;

 

Дифференциалом функции у=ƒ(х) (или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции ƒ΄(х) на

произвольное приращение аргумента Δх:

 = ƒ΄(х) Δх

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dх=Δх. Поэтому дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

 = ƒ΄(x) , ƒ΄(x) =

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

 = ƒ΄΄(x) ,

т.е. дифференциал второго порядка функции у=ƒ(х) равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.

 

Пример 1

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .

Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Далее работаем с правой частью формулы .

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее: