Композиция матриц. Однородные координаты

Композиция матриц. Однородные координаты

Объединение последовательности нескольких элементарных преобразований (вращение, перенос, масштабирование, отражение) в одно называется композицией (composing).

Можно ли получить одну результирующую матрицу? Нельзя, если среди последовательности преобразований присутствует хотя бы один перенос, поскольку операция переноса реализуется матрицей (m n) отдельно от других преобразований.

Хорошо бы иметь математический аппарат, позволяющий включать в матрицу преобразований и операцию переноса. При этом чтобы композиция 2-х и более преобразований тоже описывалась одним преобразованием. Однородные координаты и есть этот математический аппарат. Добавим к системе из двух уравнений еще одно тождественное уравнение и получим матричное представление преобразований только с одной матрицей.

Если M1 и M2 представляют собой матрицы элементарных преобразований, то существует две возможные композиции: M1*M2 и M2*M1. Однако, результаты таких преобразований в общем случае различны, поскольку произведение матриц не является коммутативной операцией.

Первая композиция матриц получена в результате вращения и перемещения, вторая – в обратном порядке.

Контрольный вопрос. Какое из приведенных ниже матричных представлений уравнений преобразования является правильным?

Ответ на вопрос. Оба матричные представления правильные, поскольку по правилу перемножения матриц (рядок на столбик) будет получен один и тот же результат. Соответственно правильное и представление ниже.