![]()
|
|||||
СТАТИКА И КИНЕМАТИКА. Статика.Стр 1 из 2Следующая ⇒
Государственный комитет Российской Федерации Тверской государственный технический университет Белова Г.П. СТАТИКА И КИНЕМАТИКА Учебное пособие Статика. ЛЕКЦИЯ 1 Теоретическая механика – это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Механическим движением называется перемещение одного тела по отношению к другому, происходящее в пространстве и во времени. Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет или стремится изменить характер их механического движения. Статика – это раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. Основные понятия и определения, Материальное тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать, называется материальной точкой. Материальная точка обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами. Системой материальных точек называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависят от положения и движения других точек этой системы. В теоретической механике часто рассматривают тела, расстояние между любыми точками которых, остаются неизменными. Такие тела называются абсолютно твердыми. Понятие об абсолютно твердом теле – есть абстрактная модель. Принимая эту модель в качестве объекта исследования, пренебрегают возможными изменениями формы и размеров тела под действием нагрузок: считая, что 1) деформации малы – ими можно пренебречь; 2) условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу являются необходимыми условиями равновесия любого деформируемого тела. Важнейшим понятием в теоретической механике является понятие силы. Сила – это мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила определяется тремя элементами: числовым значением, направлением и точкой приложения. Сила изображается вектором ( Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело называется системой сил ( Если не нарушая состояния тела, одну систему сил ( ( В том случае, когда система сил ( Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил ( ( Часто в этом случае говорят, что тело находится в равновесии. Силы, действующие на материальную систему делятся на 2 группы: внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на материальные точки данной системы со стороны материальных точек, не принадлежащих этой системе. (обозначаем - Внутренними называются силы взаимодействия между материальными точками рассматриваемой системы. (обозначаем - Аксиомы статики. Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему. Следствие. Не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно перекосить вдоль ее линии действия (сила - вектор скользящий). Доказательство Пусть сила Согласно аксиоме 2
но система Аксиома 3. He меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме 1) 2)
3) Аксиома 4. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела на нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым. Связи, Реакции связей. Тело называется свободным, если его перемещения в пространстве ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, называются связями. В точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости твердых тел от связей, согласно которым всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу. Реакция любой связи направлена противоположно тому направлению, в котором связь ограничивает перемещение тела. Основные виды связей. 1) Идеально гладкая поверхность. 2) Гибкая связь (трос, нить, цепь, канат). Реакция гибкой связи направлена по нити к точке подвеса. 3) Твёрдое тело имеет гладкую поверхность и опирается на остриё или упирается остриём. 4) Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (подшипник). Реакция такой опоры имеет произвольное направление в плоскости, раскладываем её на две составляющие 5) Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора. 6) Невесомый стержень, на концах которого шарниры. 7) Сферический шарнир. Шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Центр шара остается неподвижной точкой, через которую проходит линия действия реакции. Реакция имеет произвольное направление в пространстве, раскладываем ее на 3 взаимно-перпендикулярных составляющих 8) Подпятник. Реакция имеет произвольное направление в пространстве, раскладываем ее на три взаимно-перпендикулярных составляющих Система сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Система сходящихся сил эквивалентна одной силе, равнодействующей, которая равна геометрической сумме этих сил и проходит через точку пересечения их линией действия. Доказательство: Пусть задана система сходящихся сил Геометрический способ построения равнодействующей. Строим силовой многоугольник: от конца Обе части (1) спроектируем на оси Модуль равнодействующей Направление равнодействующей определяется направляющими косинусами.
Условия равновесия системы сходящихся сил При приведении системы сходящихся сил к центру было показано, что такая система эквивалентна одной равнодействующей Из определения уравновешенной системы сил следует, что для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы Это означает, что в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой, то есть многоугольник замкнут. Равенство (*) на основании (3) с учетом (2) выполняется при условии, что Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические проекции всех сил данной системы на координатные оси Для плоской системы сходящихся сил система (4) принимает вид: ЛЕКЦИЯ 2 Теорема о 3-х непараллельных силах Если тело находится в равновесии вод действием 3-х непараллельных сил и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке. Доказательство: Пусть на тело действует система трех сил Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам Момент силы относительно центра (или точки). Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом. Моментом силы относительно центра называется вектор равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы. Вектор-момент силы Плечом силы называется перпендикуляр, проведенный из ( )0 на линию действия силы. Знак "+" выбираем в том случае, если кратчайший поворот силы вокруг данного центра виден происходящим против стрелки часов, знак "–" – в противном случае. В общем случае направление вектора момента силы относительно центра определяется знаком векторного произведения (6). Согласно (7) можно утверждать, что Свойства момента силы относительно точки 1. Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия. 2. Момент силы равен нулю, тогда и только тогда, когда линия действия силы проходит через центр 0. Согласно (7): Здесь Размерность Параллельные силы. Система двух сил, направленных в одну сторону имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этим сил. Две, не равные по модулю, Пара сил. Основные понятия и определения. Парой сил называют систему двух равных по величине, параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Расстояние Пара сил, действующая на тело, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется величиной, называемой моментом пары. Моментом пары сил называется вектор, величина которого равна произведению силы пары на плечо пары и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары так, чтобы с направления этого вектора видеть стремление пары сил вращать тело против движения часовой стрелки. Величина векторного момента пары сил численно выражается величиной площади ð Вектор-момент можно представить в виде: Из (8) следует (*) и наоборот. Теоремы теории пар сил. Теорема 1. Геометрическая сумма моментов сил, входящих в состав пары Доказательство: Возьмем произвольный центр 0 и проведем из него радиусы-векторы Так как Теорема 2. Вектор-момент пары – вектор свободный. Доказательство: Согласно теореме о моментах сил пары имеем: Следовательно, вектор-момент пары – вектор свободный. На основании этой теоремы и известных из векторной алгебры признаков свободных векторов, можно записать следующие свойства пар сил: 1. у пары сил можно произвольным образом менять модули сил и плечо, оставляя неизменным ее момент; 2. пару сил можно перемещать как угодно в ее плоскости; 3. пару сил можно переносить в любую плоскость параллельную плоскости этой пары. Из доказанной теоремы вытекают также известные условия эквивалентности пар: 1. 2. Теорема 3. Две пары сил, действующие на одно и тоже тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар сил* Доказательство: Пусть имеются две пары сил Силы Вычислим момент пары где Момент эквивалентной пары сил равен геометрической сумме векторных моментов заданных пар. Из теоремы 3 вытекает правила сложения пар сил: 1.
2. Чтобы сложить пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, необходимо алгебраически сложить моменты составляющих пар сил Условия равновесия пар сил. Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то согласно теореме 3 эти пары сил, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой Таким образом, момент эквивалентной пары – есть замыкающая сторона векторного многоугольника, построенного на векторных моментах заданных пар сил. Для равновесия сил пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы величина момента эквивалентной пары равнялась 0, или чтобы векторный многоугольник был замкнут. Модуль момента эквивалентной пары
где
Но если
Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторов моментов пар сил на координатные оси Условия равновесия (9) упрощаются, если все пары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, поэтому (*) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось Тогда из (*) получим:
или
ЛЕКЦИЯ 3 Проекцией силы на плоскость По модулю Момент силы относительно оси. Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и плоскости. Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси 1. сила параллельна оси; 2. линия действия силы пересекает ось Зависимость между моментами силы относительно точки и оси, Согласно определению, имеем Для момента силы относительно оси
Следовательно То есть, проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр равна моменту силы относительной этой оси. Аналитическое выражение моментов силы относительно оси Для вектора момента силы относительно центра с учетом (II) можно записать: Левые части (*) и (**) равны, приравниваем правые: где Главный вектор системы сил. Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил системы. Главный момент пространственной системы сил Рассмотрим систему сил ( Векторы моменты Замыкающая сторона этого многоугольника – главный момент относительно неподвижного центра Таким образом, главным моментом пространственной системы силы относительно центра называется геометрическая сумма моментов сил системы относительно того же центра. Главным моментом пространственной системы сил относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов сил системы относительно той же оси Приведение силы к заданному центру Приведём сиу Силы При приведении силы к заданному центру получаем в этом центре силу, геометрически равную заданной и пару сил, момент которой равен моменту силы относительно центра приведения. Приведение пространственной системы сил к заданному центру, Теорема. При приведении пространственной системы сил к центру всегда получим силу, называемую главным вектором системы сил, приложенную в центре приведения, и пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения. Доказательство: Пусть имеем систему сил, как угодно ориентированных в пространстве (ограничимся тремя силами). Каждую силу приводим к центру 0 на основании метода Пуансо. В точке 0 получим систему сходящихся сил Векторы моменты Вычисление главного вектора и главного момента Главный вектор Спроектируем обе части этого векторного соотношения на оси Тогда модуль Направление
Главный момент Модуль главного момента равен Направление определяем направляющими косинусами:
Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю. Доказательство: Достаточность. При Необходимость. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Тогда необходимо, чтобы Если какое-либо из этих условий не выполняется, то система сил приводится либо к Получим уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил, если
Или с учётом (13) и (15), имеем уравнения равновесия пространственной системы сил: ЛЕКЦИЯ 4 Заделка. Заделка – особый вид связи, препятствующий не только линейным перемещениям закрепленной точки тела, но и повороту вокруг этой точки. Рассмотрим жесткую заделку левого конца балки АВ. Этот конец оказывается полностью закрепленным – не возможны его вертикальное и горизонтальное перемещения, а также и поворот. Такая связь создает систему реакций, состоящую из двух составляющих Это следует из того, что на заделанный конец балки действует распределенная нагрузка, которую можно привести к силе, приложенной в точке А, и паре сил с моментом Следовательно, реакция заделки складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих Частные случаи приведения плоской системы сил Согласно доказанной выше теореме при приведении произвольной плоской системы сил к центру 0 получим главный вектор В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи: 1. 2. 3. 4. Силы пары с моментом | |||||
|
© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.
|
|