ИСПЫТАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОРУДОВАНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОИЗВОДСТВА»

«ИСПЫТАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОРУДОВАНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОИЗВОДСТВА»

конспект лекций для студентов магистратуры ТМОм и МиРм

Раздел «МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»

1. ВВЕДЕНИЕ. ЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ В НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ.

Общая задача теории моделирования – это выработка методологии, направленной на изучение объектов, существующих вне нашего сознания и взаимодействующих между собой и внешней средой.

В развитии науки большую роль играют научные гипотезы, т.е. предсказания, основывающиеся сначала на небольшом количестве опытных данных, некоторых наблюдениях, прогнозах и догадках.

При определении, формулировании и проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия.

Аналогией называют суждение о каком-либо частичном сходстве двух объектов. Это суждение позволяет на основании сходства рассматриваемых объектов в каком-либо отношении сделать вывод об их сходстве в других отношениях.

Физические гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны иметь непосредственную наглядность или сводиться к некоторым удобным для исследования структурам и схемам.

Установки, структуры, схемы, облегчающие рассуждения, логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями.

Под экспериментом в широком смысле понимается как реальный (материальный) эксперимент в виде специально организованных опытов в лаборатории, в условиях натуры или производства, так и любой мысленный эксперимент. Мысленный эксперимент можно определить как технически неосуществленную или вообще неосуществленную процедуру, рассматриваемую в качестве логической аналогии реального опыта. Например, первый закон Ньютона. Нигде во Вселенной не существует условий, чтобы на материальное тело не действовали силы. И в это же время этот закон безупречно служит человечеству – в этом состоит критерий практики.

Модель в общем смысле – это естественный или искусственный объект, который подобен изучаемому объекту или какой-либо из его сторон.

Обобщенно моделирование определяется как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект (оригинал) находится в некотором соответствии с другим объектом (моделью), причем модель способна в том или ином отношении заменить оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.

Понятие моделей и аналогий, которыми широко пользуются в научных исследованиях, потребовало введения понятия подобия. (Леонардо да Винчи сказал: «Напиши о плавании под водой и получишь летание птицы по воздуху»).

Одновременно с физическим моделированием стало развиватьсяматематическое моделирование, особенность которого заключается в том, что совершенно различные по физической природе объекты (электрические, гидравлические, механические и т.д.) имеют одно и то же математическое описание, т.е. математическую модель.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ.

Исследовательские задачи, решаемые с помощью моделей, можно разделить на четыре группы.

1). Прямые задачи, при решении которых исследуемая система задается параметрами своих элементов и параметрами исходного режима, структурой или уравнениями. Требуется определить реакцию системы на действующие на нее возмущения.

2). Обратные задачи, в которых по известной реакции системы требуется найти возмущения, вызвавшие данную реакцию и заставившие рассматриваемую систему прийти к данному состоянию.

3). Инверсные задачи, требующие определения параметров системы по известному протеканию процесса, описанному дифференциальными уравнениями и значениями возмущений и реакций на эти возмущения.

4). Индуктивные задачи, решение которых имеет целью составление или уточнение уравнений, описывающих процессы, происходящие в системе, свойства которой (возмущения и реакция на них) известны.

Классификация моделирования проводится по различным признакам.

В зависимости от поведения объекта во времени моделирование относят к одному из двух видов:

- статическое;

- динамическое.

Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени.

Динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

В зависимости от формы представления объекта (системы) можно выделить:

- реальное моделирование;

- мысленное моделирование.

Реальное моделирование использует возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте (натурное моделирование), либо на его модели (физическое моделирование), имеющей ту же физическую природу, что и объект. В свою очередь реальное моделирование может быть натурным и физическим.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически не реализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть:

- наглядное;

- математическое;

- кибернетическое.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте (например, модель атома).

Под математическим моделированием понимают процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование особенно эффективно при использовании ЭВМ для решения поставленной задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности.

Математическое моделирование можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

С помощью аналитического моделирования исследование объекта можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными объекта. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых объектов. При усложнении объекта исследование аналитическими методами наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояния процесса в определенные моменты времени в любом звене системы.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является решение более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование – часто единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа системы, включая оценку вариантов структуры системы, с использованием ЭВМ. Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного синтеза систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

3. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И КОМПОНЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ.

При составлении математических моделей следует оперировать двумя видами переменных: переменные типа потенциала и переменные типа потока.

Переменные типа потенциала создают напряженное состояние в системе. К ним относятся: силы и моменты в механических системах, напряжение в электрических системах, давление в гидравлических системах и т.д.

Переменные типа потока характеризуют движение в системе. К ним относятся: линейные и угловые скорости в механических системах, сила тока в электрических системах, расход жидкости в гидравлических системах и т.д.

Для получения математической модели технической системы необходимо в первую очередь составить уравнение или систему уравнений (в зависимости от сложности объекта). Эти уравнения составляются на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности физических переменных. Уравнения этих законов называют топологическими уравнениями. Они описывают характер взаимодействия между простыми элементами, устанавливая соотношения между однотипными переменными.

Условия равновесия записываются для переменных типа потенциала:

а условия непрерывности записываются для переменных типа потока:

Здесь в общем виде представлены: U - переменные типа потенциала, I - переменные типа потока.

Состояние простого элемента характеризуется одной переменной типа потока и одной переменной типа потенциала. Физические зависимости между этими переменными называют компонентным уравнением.

Компонентные уравнения элементов могут быть получены путем непосредственного использования физических законов и имеют следующий вид:

1) для инерционного элемента

2) для диссипативного элемента

3) для упругого элемента

В этих уравнениях приняты следующие обозначения:

K_И, K_Д, K_У – параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; I – переменная типа потока; U – переменная типа потенциала. Индексы при переменных I и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам.

Для механической системы поступательного типа переменная типа потока – скорость V, м/с, переменная типа потенциала – сила F, Н; для механической системы вращательного типа переменная типа потока – скорость ω, рад/с, переменная типа потенциала – момент M, Н·м.

Компонентное уравнение инерционного элемента получают на основе второго закона Ньютона. Для поступательного движения твердого тела уравнение имеет вид:

а для вращательного:

где , соответственно сила инерции и момент сил инерции (или инерционный момент) элемента; , ‑ скорости инерционного элемента.

Математическое описание диссипативного элемента основано на использовании закона Стокса для вязкого трения.

При поступательном движении компонентное уравнение имеет вид:

а при вращательном:

где , соответственно сила и момент вязкого трения; , ‑ скорости диссипативных элементов.

Согласно закону Гука сила упругости деформируемого механического элемента пропорциональна величине деформации:

где в общем случае ‑ деформация упругого элемента; ‑ перемещения выделенных сосредоточенных масс; С ‑ жесткость элемента. В случае, если один из элементов неподвижен, то соответствующее перемещение отсутствует.

Выражая деформацию через базовые переменные V или ω, получаем следующие компонентные уравнения упругих элементов.

При поступательном движении:

При вращательном движении:

где , соответственно сила и момент упругих элементов; , ‑ скорости упругих элементов.

Полная математическая модель технического объекта, составленная на основе топологических и компонентных уравнений, представляет собой одно или несколько, объединенных в систему, обыкновенных дифференциальных уравнений (в зависимости от сложности исследуемого объекта), при этом в левой части уравнений находятся слагаемые с переменными координатами, в правой части – внешние воздействия (свободные члены).

4. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

Рассмотрим методику составления математических моделей на примере одномассовой системы поступательного типа. На рисунке 1 представлена расчетная схема шпиндельного узла вертикального станка при воздействии на него осевой составляющей силы резания.

P – осевая составляющая силы резания;

m – масса шпинделя;

C – жесткость подшипниковых опор шпинделя;

h – демпфирование в опорах шпинделя,

x – смещение шпинделя.

Рисунок 1. Расчетная схема одномассовой системы.

Вначале составляется топологическое уравнение равновесия шпинделя. Внешней силе P противодействуют сила инерции Fи, диссипативная сила Fд и сила упругости опор Fу :

P – Fи – Fд – Fу = 0.

Далее составляются компонентные уравнения слагаемых:

Fи = m ;    Fд = h ;    Fу = Cx.

Данные уравнения подставляются в топологическое, внешнее воздействие переносится в правую часть. В левой части переменные следует расположить в порядке убывания производной, что соответствует нормальной форме записи дифференциальных уравнений. В результате уравнение равновесия элемента примет вид:

m + h + Cx = P.

Задавая значение силы P в виде статического или динамического выражения уравнение решается известными в математике способами и определяется выходной параметр х.

5. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ.

Для исследования системы на ЭВМ необходимо представить математическую модель в виде передаточной функции. С этой целью следует с данной моделью сделать преобразование Лапласа и взять отношение выходной координаты x к входной P. Так как слагаемые уравнения представляют собой простые выражения, преобразование Лапласа можно выполнить формально, заменив символ производной на оператор р. Показатель степени оператора соответствует порядку производной. Уравнение будет выглядеть следующим образом:

mp²x + hpx + Cx = P.

Вынесем переменную х за скобки, получим:

(mp² + hp + C)x = P.

Передаточная функция:

W(p) = x / P = 1/(mp² + hp + C).

Данное выражение можно реализовать на ЭВМ в пакете MATLAB с использованием приложения Simulink и определить интересующие нас статические и динамические показатели шпиндельного узла. Модель будет выглядеть следующим образом, внутри блока записывается выражение передаточной функции:

W(p)

                                    Р                     х

Существует другой способ формирования модели для исследования её на ЭВМ. Этот метод называется «метод графов связей», при котором с помощью графов создаются цепи, показывающие последовательное преобразование переменных, входящих в уравнения.

Графы связей системы строятся так же, как и математическая модель, отдельно по элементам системы, которые затем объединяются в единый граф. Как было указано выше, построения графа начинают с топологического уравнения, затем используют компонентные для формирования переменных.

В правую часть топологического уравнения выносится слагаемое с высшим порядком производной. При этом внешнее воздействие оставляется на первом месте.

Стрелки с порядковыми номерами указывают на математическое преобразование переменных в виде передаточных функций, которые определяются из соответствующего компонентного уравнения отношением выходной координаты к входной. Граф связей модели:

                           1         2           3

P –Fд – Fу = Fи                                     x

                                   4

                                       5

В соответствии с графом связей строится структурная модель системы, при этом алгебраические выражения изображаются суммирующими элементами, стрелки связей заменяются соответствующими передаточными функциями:

Передаточные функции модели, как уже было сказано выше, определяются из компонентных уравнений:

W₁(p) = / Fи = 1/m;

W₂(p) = / = 1/р. Здесь = р ;

W₃(p) = x / = 1/р. Здесь = рх;

W₄(p) = Fд / = h;

W₅(p) = Fу / х = С.

Преимуществом такой модели является то, что можно увидеть, как реагирует любая из переменных на внешнее воздействие.

Структурная модель системы реализуется и исследуется на ЭВМ в пакете MatLab Simulink.

Объекты, состоящие из нескольких механических элементов (например, шпиндель, шпиндельная бабка, суппорт и т.п.) моделируются аналогично, при этом расчетная схема строится с выделением сосредоточенных масс или моментов инерции со своими связями между элементами. Уравнения составляются с использованием принципа Даламбера, когда выделяется сосредоточенная масса или момент инерции со всеми своими связями и внешними воздействия и рассматривается в равновесии. Это тема следующего занятия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чикуров Н. Г. Моделирование систем и процессов: Учеб. пособие. – М.: РИОР: ИНФРА-М, 2013. – 398 с.

2. Дурко Е. М., Фецак С. И., Идрисова Ю. В. Динамика станков: учеб. пособие / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа: УГАТУ, 2014. – 132 с.

3. Линейные непрерывные САР: лабораторный практикум по дисциплине "Теория автоматического управления": ч.1/ Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; сост. Ю.В.Идрисова, С.И.Фецак.–Уфа:РИК УГАТУ, 2016.–68 с.

Электронная почта Дурко Евгения Марковича emd44@mail.ru