Практические занятия от 17.11

Практические занятия от 17.11

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Степенные ряды и их область сходимости.

1)Признак Лейбница

В пособии “Математический анализ в примерах и задачах, часть 2” (файл МА_П_3(часть2).pdf) этот вопрос с разбором примеров изложен на c. 64 – 65. Хочу только отметить, что, поскольку ряд и его остаток ведут себя одинаково, в условии Теоремы 5.8 слова “для любого n” можно заменить на “для любого ”, соответственно тогда и оценка остатка ряда будет справедлива при . Выполните самостоятельно упражнения 5.60, 5.71 и 5.72 на с. 65.

2)Область сходимости степенного ряда

Посмотрите еще раз утверждение об области сходимости степенного ряда от комплексной переменной, приведенное в лекции от 12.11. В пособии

“Математический анализ в примерах и задачах, часть 2” отследите разбор примеров 5.19-5.21 на с. 67-68, заменив вещественную переменную x на комплексную z, соответственно интервал сходимости на круг сходимости. Используя одну из формул для вычисления радиуса сходимости (Предложения 11.1 и 11.1а в лекции от 12.11) найдите области сходимости рядов из упражнений 5.81, 5.84, 5.86, 5.90 на с. 71, заменив вещественную переменную x на комплексную z.

3)Пример представления функции в виде степенного ряда.

По аналогии с последним примером в лекции от 12.11 представьте в виде степенного ряда функцию комплексной переменной и найдите область, в которой справедливо это представление.