Инструкция по выполнению:. Лекция: «Методы решения показательных уравнений».. Показательные уравнения.

Инструкция по выполнению:

1. Запишите конспект лекции.

2. Выполните тест №1 с подробным решением.

3. Фото проделанной работы отправить в личные сообщения https://vk.com/id386892400, либо на почту nemkova.anna96@mail.ru, либо в WhatsApp на номер 89876059849 не позднее установленного срока.

Лекция: «Методы решения показательных уравнений».

1. Показательные уравнения.

Уравнения, содержащиенеизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а^x = b, где а > 0, а ≠ 1.

1) При b < 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a^с, а^x = b^с ó x = c или x = log_ab.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:

1) метод приведения к одному основанию ;

2) метод оценки;

3) графический метод;

4) метод введения новых переменных;

5) метод разложения на множители;

6) показательно – степенные уравнения;

7) показательные с параметром.

2. Метод приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:

1. 3^x = 81;

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 3⁴ и запишем уравнение, равносильное исходному 3^x = 3⁴; x = 4. Ответ: 4.

Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.

Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 5⁰ и перейдем к уравнению для показателей степеней x²-3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.

Ответ: 1 и 2.

Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

,откуда 5^-^x^-1 = 5^-2^x^-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.

Тест №1. с выбором ответа. Минимальный уровень.

А₁ 3^-^x⁺² =	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
А₂ 3²^x^-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
А₃	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет
А₄	1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7
А₅	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
А₆	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1