Свойство 2.

[x] = {x Î R| x<=x<=x }

[x] = [ x,x ]

x <-> x^

Операции:

Í , Ì, È

[x] È [y] = [min {x,y}, max{ x^, y^}]

Примеры

[x] = [1,3] и y = [1,p]

[x] Ì [y]

[x] È [4,5] = [1,5]

[x] Ç [y] = [x]

d([x]) = diam ([x]) = x^ - x

r([x]) = rad ([x]) = (x^ - x)/2

m([x]) = mid ([x]) = (x^ + x)/2

x Î [x] равносильно |x-m([x])|<=r(x)

[x] + [y] = [x + y, x^+y^],

[x] - [y] = [x – y, x^- y^],

[x] ∙ [y] = [min{xy, x y^, x^ y, x^y^], max{xy, x y^, x^ y, x^y^]]

[x] / [y] = [x] ∙ [1/y ^, 1/ y], 0 не принадлежит [y].

x<=x<=x^

y<=y<=y^

xy <=xy<=x^ y^

[-2,-1] ∙ [-1,2]

2 <=xy<=-2
min(2, -4, 1, -2) = -4, max(2, -4, 1, -2) = 2
[-4,2]

Примеры

[-1,0] + [0,p] = [-1, p]

[1,4] - [1,4] = [-3, 3]

[2,4] – 3 = [-1,1]

-1 ∙ [2,5] = [-1,-1] ∙ [2,5] = [min(-2, -5, -2, -5), max(-2,-5,-2,-5 ) ] = [-5,-2]

-1 = [-1,-1]

[-2,3] ∙ [-2,3] = [-6,9]

-[x] = 0 – [x] = [-x^, - x]

Свойство 1. Все элементарные операции монотонны по включению.

Т.е. Если [x] Ì [x’], [y] Ì [y’], то результат любой операции над интервалами [x] и [y] содержится в интервале полученном при применении той же самой операции к более широким интервалам [x’] и [y’]. Т.е.

([x] Ì [x’], [y] Ì [y’]) => ([x] ◦ [y] Ì [x’] ◦ [y’]), ◦Î{+, -, ∙, /}

[x] + [y] Ì [x’] + [y’]

[x] + [y] = [x + y, x^+y^]

[x’] + [y’] = [x’ + y’, x’^+y’^]

[x + y, x^+y^] Ì [x’ + y’, x’^+y’^]

x> x’, x^<x’^

y> y’ , y^<y’^

Определим для интервала [x] функции наименьшего и наибольшего абсолютных значений (вещественные числа):

<[x]> = min { |x| | xÎ [x] },

|[x]| = max { |x| | xÎ [x] } = max {| x |,|x^| }

[-2,3]

<[x]> = 2

|[x]| = 3

Пусть j: DÌ R -> R вещ. элемент. функция, непрерывная на каждом замкнутом интервале своей области определения D.

Тогда

j([x]) = { j(x) | xÎ [x] }

Свойство 2.

Монотонные функции монотонны по включению.

Т.к. j - непрерывная, то j([x]) – является интервалом. По свойству 1 из
[x] Ì [y] => j([x]) Ì j([y])

Из чего следует, что интервальные функции монотонны по включению.

Чтобы получить интервал, включающий f([x]) можно подставить [x] в выражение для f и вычислить результирующий интервал корректно ( чтобы нигде не производилось деление на интервал, содержащий 0, и интервальные аргументы элементарных функций на всех этапах вычисления содержатся в соответствующих областях определения функции).

Определение

Такой интервал называют интервальным вычислением функции f и обозначают f_[]([x]).

Из данного определения следует, что f([x]) Ì f_[]([x])

Свойство 3.

Операция интервального вычисления также является монотонной по включению, т.е.

[x] Ì [y] => f_[] ([x]) Ì f_[] ([y])

Интервальное вычисление функции f приводит к переоценке множества значений , которые она принимает на некотором интервале [x].

Один из подходов к улушению интервальной оценки