Исследование систем линейных уравнений методом Гаусса.

Тема 1.2. Системы линейных уравнений.

§1. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n:
(*)

Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.
Систему (*) можно записать в матричной форме: AX=B, где – матрица системы, – столбец неизвестных, –столбец свободных членов.
Матрица называется расширенной матрицей системы.
Теорема 2. 1. (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: r(A)=r(

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определена она или нет. При этом возможны три варианта:

1) Если r(A)˂r(A|B), то система несовместна.

2) Если r(A)=r(A|B)=n (где n – число неизвестных), то система совместна и определена.

3) Если r(A)=r(A|B)˂n, то система совместна и неопределенна.

Исследование систем линейных уравнений методом Гаусса.

Задание №4 (пример).

А) Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Приведём к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
Так как r(A)=r(A|B)=2, n=3 ,согласно п. 3 (r(A)=r(A|B)˂n )система совместна и неопределенна (т. е. имеет бесконечно много решений).
Найдём общее решение системы и одно из частных решений системы.
Количество главных переменных равно r(A)=2, количество свободных переменных равно n‒ r(A)=3‒2=1. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор 2-го порядка полученной матрицы А, например, минор Его столбцы – 1-й и 2-й столбцы матрицы А – соответствуют переменным x₁ и x₂ – это будут главные переменные, а x₃ – свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Теперь для наглядности запишем эту систему в другом виде (слева остаются только главные переменные):
Подставляя выражение для x₂ в первое уравнение, получим x₁=‒x₃‒8. Обозначая свободную переменную x₃ через t, получим общее решение системы:
Частное решение системы получим, например, при t=0: (‒8; 4; 0).

Ответ. Система совместна и неопределенна; общее решение ; частное решение (‒8; 4; 0).

Б) Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Приведём к ступенчатому виду расширенную матрицу системы: . Так как r(A)=2, а r(A|B)=3, то согласно п. 1( r(A)˂r(A|B)) система несовместна.

Ответ. Система несовместна.

В) Решить систему уравнений методом Гаусса: .

Решение. Приведём к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
.

Так как r(A)=r(A|B)=3, n=3 ,согласно п. 2 (r(A)=r(A|B)=n )система совместна и определена. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: . Решим эту систему: ; .

Ответ. Система совместна и определена; общее решение (‒1;0;1); частное решение (‒1;0;1).

§2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по методу Крамера.

Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными задана в матричной форме: AX=B, где A=(a_ij) – матрица коэффициентов системы размера n×n, столбец неизвестных, столбец свободных членов.
Если D – определитель матрицы А – не равен нулю, то система совместна и определена, её решение задаётся формулой:
Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

, k=1, 2, …, n, где D_k – определитель, получающийся из D заменой k-го столбца на столбец свободных членов.

Задание №3 (пример). Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

Решение.
а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдём определитель матрицы системы: Так как D≠0, то система совместна и определена. Найдём определители D₁, D₂, D₃ подставляя столбец свободных членов вместо первого, второго и третьего столбцов определителя D соответственно:
,

Отсюда получаем решение системы уравнений:

Ответ. ( ̶ 2; 1; 2).

Б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдём матрицу А^{̶ 1}, обратную к матрице системы . Эта матрица найдена в примере№ 5: . Найдём решение системы уравнений:

Ответ. .

Практические задания

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и методом обратной матрицы:

2. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса: