Вопросы к экзамену по геометрии 7 класс

Вопросы к экзамену по геометрии 7 класс

1. Дайте понятие точки, прямой, отрезка. Приведите примеры этих геометрических фигур. Расскажите о сравнении и измерении отрезков.

Отрезок-часть прямой ограниченная с двух сторон точками.

точки называются коцами отрезка

прямая-отрезок не имеющий конца

если один отрезок меньше другого то единица измерения укладывается в этом отрезке меньше число раз чем в другой т.е меньший отрезок имеет меньшую длину.

когда точка делит два отрезка длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков

2. Дайте понятие луча, угла. Приведите примеры этих геометрических фигур. Расскажите о видах углов, объясните, как измерить и сравнить углы.

Луч-прямая ограниченная с 1 стороны

Угол-Фигура образованная 2 лучами сходящих из 1 точки:Прямой,тупой,острый. С помощью транспортира.

3. Дайте понятие смежных и вертикальных углов. Сформулируйте свойства этих углов. Приведите примеры.

Смежные-Углы суммы которых равны 180 градусов

Вертикальные-углы стороны которых продолжают друг друга.

4. Дайте определение равных треугольников. Сформулируйте признаки равенства треугольников. Приведите примеры их использования.

Если можно наложить треугольники друг на друга то треугольники равны.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

5. Дайте определение перпендикулярных прямых, перпендикуляра к прямой. Приведите примеры.

2 прямые образующие при пересечении прямые углы.

6. Дайте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Проведите эти отрезки в данном треугольнике.

Медиана-Отрезок соеденяющий вершину и центр противоположной стороны

Биссектриса-Отрезок делящий угол пополам соеденяющий вершину и противоположную сторону.

Высота-Отрезок соеденяющий вершину и противопожную сторону.

7. Дайте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. Приведите примеры.

Треугольник у которого 2 стороны противоположные друг другу равны.У равнобренного тругольника углы при основании равны.

8. Дайте определение параллельных прямых. Сформулируйте признаки параллельности двух прямых. Приведите примеры.

Прямые которые не пересекаются и лежат на одной плоскости.

1.Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2.Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3.Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

9. Дайте определение параллельных прямых. Сформулируйте аксиому параллельных прямых, свойства параллельных прямых. Приведите примеры.

Прямые которые не пересекаются и лежат на одной плоскости.

Накрест лежащие углы равны.

Соответственные углы равны.

Односторонние углы в сумме составляют 180°.;

А аксиома, что они никогда не пересекаются

10. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. Дайте классификацию видов треугольников по углам. Приведите примеры

Остроугольный-Все углы острые

Прямоугольный-1 угол 90 градусов

Тупоугольный-1 угол больше 90 градусов

11. Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Приведите примеры. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

1) против равных сторон лежат равные углы,

2) против большей стороны лежит больший угол.

12. Дайте определение прямоугольного треугольника. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников. Приведите примеры.

Треугольник у которого 1 угол равен 90 градусов.

1. Сумма острых углов равна 90

2. Катет лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы

3. Обратная теорема: Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против него равен 30

13. Дайте определение прямоугольного треугольника. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

Треугольник у которого 1 угол равен 90 градусов.

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в этих треугольниках два других острых угла также равны, поэтому они равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.

14. Дайте определение окружности. Что такое центр окружности, её радиус, хорда, диаметр.

Окружностью называется

геометрическая фигура. состоящая из точек плоскости. находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. называемой центром окр.

радиус - отрезок. соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.

хорда- отрезок. соединяющий 2 точки окружности

диаметр - хорда. проходящая через центр окружности. длина диаметра равна длине 2 радиусов.

15. Расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой. Расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной из них до точек другой.

16. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

17. Теорема о внешнем угле треугольника;

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике

∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.

Отсюда следует

∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD

Теорема доказана.

18. Теорема о сумме односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей;

Если 2 паралельные прямые пересечены секущей то сумма односторонних углов равна 180 градусов.

19. Теорема о накрест лежащих углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей;

Если при пересечениии двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

20. Теорема о перпендикулярных прямых;

Теорема

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

перпендикулярные прямые

Доказательство.

Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b.

Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость.

21. Докажите параллельность прямых по равенству соответственных углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних уголов равна 180 градусов то прямые параллейльны

Сумма односторонних углов равна 180 градусов.Угол 1 + Угол 4 равен 180 градусов.Т.к. углы 3 и 4 смежные они то 3+4=180 градусов.Из этого следует,что накрест лежащие углы равны прямые паралельны.

22. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

По неравенству треугольника АВ < АС + СВ

Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Следствие. В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.

23. Теорема о сумме углов треугольника;

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°.

24. Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника;

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол В равен Углы С.Пусть AD - биссектриса треугольника ABC.ABD=ACD.AB=ACпо условию.Угол 1=2.В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы,поэтому угол B=C.

25. Первый признак равенства треугольников.

Если 2 стороны и угол между ними 1 треугольника соответсвенно равны 2 сторонам и углу между ними другого треугольника то треугольника равны.

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол А равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1, докажем, что треугольники равны.

Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.

Так как А1В1 равно А1В2, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С1 равен углу В2А1С2, то луч А1С2 совпадет с А1С1. Так как А1С1 равен А1С2, то С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.

26. Второй признак равенства треугольников.

Если 2 угла и сторона одного треугольника соответственно равны 2 углам и стороне другого треугольника то треугольники равны.

Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Так как А1В2 равно А1В1, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С2 равен углу В1А1С1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А1С2 совпадет с А1С1, а В1С2 совпадет с В1С1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.

27. Третий признак равенства треугольников.

Если 3 стороны 1 треугольника соответсвенно равны 3 сторонам другого треугольника то треугольники равны.

Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, АС равно А1С1, и ВС равно В1С1. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1, угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А1В1С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.

Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 – равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А1D и В1D – являются высотами, значит прямые А1D и В1D – перпендикулярны прямой С1С2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

28. Теорема о медиане равнобедренного треугольника;

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD – общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.

29. Докажите свойство катета лежащего против угла в 30 градусов.

Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

АВС.Угол А=90,угол В=30 градусов,значит угол С=60 градусов.Докажем,что АС=0.5ВС.Дорисуем к треуг. АВС равный ему треуг. АВД и получим общий треуг. ВСД.Угол В=углу Д=60 градусов,ВС=ДС.АС=0.5ДС,следовательно АС=0.5ВС

30. Признак равенства прямоугольных треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.