Вопросы к экзамену по математическому анализу

Вопросы к экзамену по математическому анализу

для студентов 1 курса факультета финансов и учёта

Ульяновского государственного университета

1 семестр, 2011-2012 уч/год

Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

1. Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.

2. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

3. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.

4. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах

5. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существования предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.

6. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

7. Предел функции в точке. Единственность предела.

8. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.

9. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций. Неограниченные функции.

10. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.

11. Первый замечательный предел. Следствия.

12. Второй замечательный предел. Следствия.

13. Непрерывность функции в точке.

14. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.

15. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.

16. Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к непрерывной строго монотонной.

17. Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической , тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.

18. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Раздел П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Тема 1. Функции одной переменной.

1. Производная, ее геометрический, механический, экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

2. Дифференцируемость функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

3. Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения и частного.

4. Производные обратной, сложной, параметрически заданной функций. Производная функции, заданной неявно.

5. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

6. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

7. Производные и дифференциалы высших порядков.

8. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

9. Правило Лопиталя.

10. Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.

11. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.

12. Монотонность функции. Достаточное условие строгой монотонности. Необходимое и достаточное условие монотонности.

13. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

14. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.

15. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

16. Асимптоты графика функции.

17. Общая схема исследования функций и построения графиков.

18. Применение производной в экономической теории.

15 декабря 2011 г. Преподаватель Скорая Т.В.