Примерный перечень вопросов к экзамену

Примерный перечень вопросов к экзамену

III семестр

Комплексные числа. Понятие модуля и аргумента комплексного числа. Основные операции над комплексными числами.
Функции комплексного переменного.
Дробно-рациональная функция и её свойства.
Показательная функция и её свойства.
Тригонометрические функции. Формулы Эйлера.
Гиперболические функции. Соотношения, связывающие гиперболические функции с тригонометрическими.
Логарифмическая функция и её свойства.
Обратные тригонометрические функции.
Общие показательная и степенная функции.
Предел последовательности комплексных чисел. Свойства предела.
Предел функции комплексного переменного. Свойства предела.
Непрерывность функции комплексного переменного.
Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Правила дифференцирования.
Аналитические функции в точке и в области. Связь аналитической функции с гармоническими функциями двух переменных.
Геометрической смысл модуля и аргумента производной.
Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства интегралов.
Сведение интеграла от функции комплексного переменного к вычислению криволинейных интегралов.
Вычисление интеграла от функции комплексного переменного по контуру, заданному параметрически, формула Ньютона–Лейбница.
Замена переменной в интеграле от функции комплексного переменного, формула интегрирования по частям.
Интегральная теорема Коши о независимости аналитической функции от пути интегрирования.
Интегральная формула Коши.
Числовые ряды с комплексными членами. Основные теоремы.
Степенной ряд. Теоремы Абеля и о Радиусе сходимости.
Ряды Тейлора и Лорана.
Нули аналитических функций.
Изолированные особые точки и их классификация. Основные теоремы.
Вычеты функций в изолированных особых точках. Вычисление вычетов.
Теорема Коши о вычетах.
Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.
Метрические пространства.
Полные метрические пространства. Теорема о неподвижной точке.
Дифференциальные уравнения. Общая теория.
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные ДУ и приводимые к ним.
ДУ в полных дифференциалах.
Уравнения Бернулли.
ДУ высшего порядка. Случаи понижения порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Основные теоремы.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.