Вопросы к экзамену по КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ 1

Вопросы к экзамену по КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ 1

1.Поле комплексных чисел.

1.1.Определение комплексного числа.

1.2.Сложение комплексных чисел. Умножение комплексных чисел.

1.3.Вычитание и деление комплексных чисел.

1.4.Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

1.5.Основные свойства модуля и аргумента комплексного числа.

1.6.Показательная форма комплексного числа.

2.Функции комплексного переменного.

2.1. Последовательности комплексных чисел.

2.1.1.Предел последовательности комплексных чисел.

2.1.2. Бесконечно удалённая точка. Стереографическая проекция.

2.2. Предел функции комплексного переменного. Непрерывность.

2.2.1. Понятие функции комплексного переменного. Однолистность.

2.2.2. Предел функции. Непрерывность.

2.3. Примеры функций комплексного переменного.

2.3.1.Линейная функция

2.3.2. Функция

2.3.3. Функция

2.3.4. Функция

3. Дифференцирование функций комплексных переменных.

3.1. Определение производной функции комплексного переменного.

3.1.1. Дифференцируемость функций комплексного переменного.

3.1.2. Производная функций комплексного переменного.

3.1.3. Другие формы условия Коши-Римана.

3.2. Аналитические функции.

3.2.1. Определение аналитической функции. Примеры.

3.2.2. Свойства аналитических функций.

3.2.3. Геометрический смысл производной.(теорема без док-ва)

3.2.4. Элементарные функции.

4. Интеграл по комплексной переменной.

4.1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного по кривой .

4.1.1. Определение интеграла.

4.1.2. Свойства интеграла. (теорема без док-ва)

4.2. Теорема Коши.

4.2.1. Теорема Коши для односвязной области.

4.2.2. Теорема Коши в многосвязной области.

4.3. Неопределённый интеграл.

4.4. Интеграл Коши.

4.4.1. Интеграл .

4.4.2. Формула Коши.

4.5. Принцип максимума модуля аналитической функции.

4.6. Интеграл типа Коши.

4.7. Интегралы, зависящие от параметра.

4.7.1. Аналитическая зависимость от параметра.

4.7.2. Существование производных всех порядков у аналитической функции.

4.7.3. Теоремы Морера и Лиувилля

5. Ряды аналитических функций.

5.1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексного переменного.

5.1.1. Числовые ряды. (критерий без док-ва)

5.1.2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

5.1.3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теорема Вейерштрасса. (вторая теорема Вейерштрасса без док-ва)

5.2. Степенные ряды.

5.2.1. Теорема Абеля и её следствия.

5.2.2. Ряд Тейлора.

5.3. Единственность определения аналитической функции.

5.3.1. Нули аналитической функции.

5.3.2. Теорема о нулях функции.

5.3.3. Следствия из теоремы о нулях функции.

6.Аналитическое продолжение. Элементарные функции комплексной переменной.

6.1.Продолжение с вещественной оси.

6.2.Продолжение с помощью степенных рядов.

6.3.Правильные и особые точки аналитической функции.

6.4. Понятие римановой поверхности.

6.5.Аналитическое продолжение через границу

6.6.Примеры построения аналитического продолжения.