Контакты

Случайная статья

Подготовка к экзамену

Подготовка к экзамену

Прямая на плоскости и в пространстве.

https://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm

Пример выполнения задания из экзаменационной работы.

Даны вершины треугольника . Найти:

a) Уравнение стороны ;

b) Уравнение высоты ;

c) Уравнение медианы ;

d) Точку пересечения медианы и высоты ;

e) Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно ;

f) Расстояние от точки до прямой .

A (0; 2), B (3; -4), C (5;4)

Решение:

a)Уравнение стороны .

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A (0; 2), B(3; -4).

, гдеA (x₁; y₁), B (x₂; y₂), т.е. x₁=0, y₁=2, x₂=3, y₂=-4

(уравнение стороны АВ)

(общее уравнение АВ)

b) Уравнение высоты

Высота CHперпендикулярна стороне AB (CH⊥AB), следовательно угловые коэффициенты данных прямых связаны соотношением , где k₁ – угловой коэффициент прямойAB, k₂ – угловой коэффициент прямойCH.

Уравнение прямой AB (см. пункт a)): , следовательно, k₁=‑2.

Найдем угловой коэффициент прямой CH: .

Составим уравнение прямой, проходящей через точку C (5;4) по формуле:

.

В нашем случае , где , x_c = 5, y_c = 4.

(уравнение высотыCH)

(общее уравнение CH)

c)Уравнение медианы .

Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка М – середина стороны ВС.

Найдем координаты точки М по формулам: , .

B (3; -4), C (5;4)

Координаты точки М (4; 0).

Составим уравнение медианы, как уравнение прямой, проходящей через две точкиA (0; 2), М (4; 0).

, гдеA (x₁; y₁), M (x₂; y₂), т.е. x₁= 0, y₁= 2, x₂= 4, y₂=0

(уравнение медианы АМ)

(общее уравнение АМ)

d) Точку пересечения медианы и высоты .

Составим систему уравнений:

Приравниваем правые части уравнений:

Обе части умножаем на 2, в результате получаем:

Полученное значение x подставляем в любое уравнение системы, например, во второе уравнение:

Координаты точки пересечения медианы и высоты : N .

е) Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно .

Прямая, проходящая через точку С параллельна АВ, следовательно угловые коэффициенты данных прямых связаны соотношениемk₁ = k₂.

Уравнение прямой AB (см. пункт a)): , следовательно, k₁ = k₂=‑2.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку C (5;4) по формуле:

.

В нашем случае , где , x_c = 5, y_c = 4.

(уравнение прямой)

(общее уравнение прямой)

f)Расстояние от точки до прямой

Формула расстояния от точки до прямой имеет вид:

В нашем случае:

Уравнение прямой AB в общем виде (см. пункт a)): . Ах + By + С = 0

Отсюда, А=2, В=1, С=-2.

Координаты точки C (5;4).

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.