|
|||||
Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b
Тема сегодняшнего урока - Логарифм и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).
На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов. Тема эта актуальна, т.к. логарифм всегда встречается на итоговой аттестации по математике.
Зададим вопрос: 1) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9, равен 2. 2) В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8, равен 3.
Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.
Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log3 9=2 Эта запись читается так: «Логарифм числа 9 по основанию 3». Логарифм числа 9 по основанию 3 это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 9. этот показатель равен 2.
Дадим определение логарифма. Определение. Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Логарифмом числа b по основанию a обозначаетсяloga b.
История возникновения логарифма: Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации. Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.
Рассмотрим примеры: log327=3; log525=2; log255=1/2; log5 1/125=-3; log-2-8- не существует; log51=0; log44=1
Рассмотрим такие примеры: 10. loga1=0, а>0, a ≠ 1; 20. logaа=1, а>0, a ≠ 1. Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.
В математике принято следующее сокращение: log10а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят). logеа= ln а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное » 2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят). Рассмотрим примеры: lg 10=1; lg 1=0 ln e=1 ; ln 1=0 .
Как перейти из логарифмического равенства к показательному: logаb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а степени с равен b: а с= b. Рассмотрим пять логарифмических равенств. Задание: проверить их правильность. Среди этих примеров есть ошибки. Для проверки воспользуемся данной схемой. • lg 1 = 2 (10 2=100)- это равенство не верное. • log1/2 4 = 2- это равенство не верное. • log31=1 - это равенство не верное. • log1/3 9 = -2 - это равенство верное. • log416 = -2- это равенство не верное. Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b
Рассмотрим пример. 5 log 5 13 =13 Свойства логарифмов: 3°. logа ху = logах + logау. 4°. logа х/у = logах - logау. 5°. logах p = p · logах, для любого действительного p.
Рассмотрим пример на проверку 3 свойства: log28 + log232= log2 8∙32= log2 256=8 3 +5 = 8 Рассмотрим пример на проверку 5 свойства: 3∙ log28= log283= log2512 =9 3∙3 = 9 Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:
Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору. Возьмем пример: log3 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.
Для закрепления новой темы решим примеры. Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно): • log66 • log 0,51 • log63+ log62 • log36- log32 • log448 Пример 2.
Вычислите: 1) log416 2) log25125 3) log82 4) log66 Вычислите: 1) log327 2) log4 8 3) log49 7 4) log55
|
|||||
|