Лекция 18. Тема «Область определения, множество значений функции. Обратная функция». Определение.

Лекция 18

Тема «Область определения, множество значений функции. Обратная функция»

Цель:закрепить знания об области определения и множестве значений функции; научиться находить обратные функции.

План лекции:

1. Функция.

2. Область определения функции.

3. Множество значений функции.

4. Обратная функция.

Определение.

Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждом значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.

В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.

В общем виде любую функцию можно записать так:

Например:

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента.

Пример. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Можно записать её в таком виде:

Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём прямую через полученные точки.

Мы изобразили график функции.

Определение. Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f(х), а х «пробегает» всю область определения функции f.

Определение. Область определения функции D(f) - это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции y = f(x) имеет смысл.

Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

Определение. Множество, состоящее из всех чисел f(x), таких, что х принадлежит области определения функции f, называют множеством значений функции f и обозначают E(f).

В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Пример.Найдем область определения каждой из функции

а)

Аргумент х может принимать любые значения, кроме , т. к. на нуль делить нельзя. Поэтому

D(f): . Найдем при каких значениях х уравнение будет равно 0.

Уравнение имеет корни х₁ = 3 и х₂ = 1. Тогда область определения функции D(f): x ( или x (читается: область определения функции – все действительные числа, кроме 1 и 3).

б)

По определению квадратного корня выражение х² – 9 не может быть отрицательным числом. Решением неравенства есть х² – 9 < 0 является промежуток (-3; 3). Поэтому

D(f): x .

в) у =

Так как на нуль делить нельзя, то D(y) – все действительные числа, кроме sin x = 0.

Корень уравнения sin x = 0 х = Значит

D(f): x х =

Определение. Обратная функция — функция y = g(x), которая получается из данной функции y = f(x), если из отношения x = f(у) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y = f(x) найти обратную, надо:

1. В соотношении y = f(x) заменить x на y, а y — на x: x = f(у).

2. В полученном выражении x=f(у) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны. Рассмотрим это на примере

Пример. Найдем обратную функцию к функции у = 3х – 8.

Будем действовать по представленному выше алгоритму:

1. х = 3у – 8

2. 3у = х + 8

у = – обратная функция к заданной.

Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции - ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать.

Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Практическая часть:

1. Найдите значения функции:

а) f(x) = x + в точке -1, , 10;

б) f(х) = 2 – sin 2x в точках , 0, .

2. Найдите область определения каждой из функции:

а) ;

б) ;

в) f(x) = 2tgx;

3. Постройте графики функций:

а) у = ; б) у = 4 – х²; в) у = cosx – 3.

4. Найти обратную функцию для функции у = 11 – 5х.