Интегрирование по частям.

Предел. Односторонний предел. Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0):"xÎокрестности (x0) выполняется условие f(x)Îокрестности. Теорема Все определения предела эквивалентны между собой. Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0 Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A Запись: f(x0+o), f(x0+ ). Lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0. Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-) Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)= f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A Док-во а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)® А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1. б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности. 1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n}; 2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n}; x’n®x0-o x’’n®x0+o, т.к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа: 1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей Непрерывность и дифференцируемость Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0 Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx. Примеры. 1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const "x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0. 2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) " kÎN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх => lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к. 3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1. 4)y=f(x)=½x½=(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для " х¹0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не $. Причина с геом т-ки зрения явл. Невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не $ при x0=0. При Dx>0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim(Dx®0,Dx>0)Dy/Dx=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $. В данном случае $ одностор. пр-ная. Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что Dх®0+(Dх®0-). Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также $ и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для $ пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков. Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка. Дифференциал выс. порядков dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny. Т-ма Тейлора. «О приближении гладкой ф-ци к полиномам» Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х¹а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка e такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)(e)/(n+1)!(x-a)^(n+1). Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x). g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!*f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 l=f^(n+1)(c) Т-ма Ролля Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. оyuxc на непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть

Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное. Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство:применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

Интервалы монотонности ф-ции Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда, когда f‘(x)³0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x)<0), то строго возр. (убыв) на (a,b). хÎ интерв. монотонно убывает, касательная имеет тупой угол наклона f‘(x1)<0 для x2 противоположная ситуация. Экстремумы функции 2ух переменных. Рассмотрим функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р₀(x₀,y₀) - внутренняя точка этой области. Опр. Точка р₀ наз. Точкой max функции, если в некоторой окресности этой точки выполняется неравенство: f(x,y)< f(x₀,y₀) min - наоборот Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции в точке р_0. Если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р₀ и имеет в этой точке экстремум, то часные производные функции в этой точке равны нулю. f¢_x(x₀,y₀)=0 f¢_y(x₀,y₀)=0 Пусть в точке р₀функция достигает max. Рассмотрим часную производную этой функции по у. f¢_y(x,y)=j¢(у) При нахождении этой частной производной мы имеем дело с функцией, зависящей только от х, при этом эта функция в точке р₀достигает max, поэтому по теореме о существовании экстремума функции одной переменной имеем: j¢( y₀)=0 ® f¢_y(x₀,y₀)=0, аналогично по х. Опр. Точка р₀при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю). Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать только в стационарных точках (если она диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие. Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных. Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р₀ и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка этой функции r=¶²z/¶x² s=¶²z/¶x¶y t=¶²z/¶y² Вычислим в точке р₀ значение выражения (rt-s²)_po, если это выражение >0, то в т. р₀ сущ. экстремум. При этом если r>0 р₀ -min; r<0 р₀ -max Если rt-s²<0 - экстремума нет. rt-s²=0 - экстремум возможен, требуются дополнительные исследования. Выпуклые и вогнутые ф-ции Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой. Выпуклость и вогнутость. Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции. y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) " x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой. Т-ки перегиба Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум. Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны Асимптоты графика ф-ии. В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами. .Вертикальные асимптоты – прямая

называется вертикальной асимптотой графика ф-ии

в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности. Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю. ******************** Наклонная асимптота – прямая

наклонная асимптота ф-ии

, если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты: Для существования наклонной асимптоты

к графику ф-ии

необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Горизонтальная асимптота-y= lim(x-») (y-kx) 1)Область определения 2)Найти точки пересечения графика с осями координат 3)Найти интервалы знака постоянства(промежутки на которых f(x)>0 или f(x)<0. 4)Четность нечетность 5)Найти асимптоты 6)Найти интервалы монотонности ф-ции 7)Найти экстремумы ф-ции 8)Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика ф-ции. На основании последнего исследования построить график. Открытые и замкнутые множества Множество

- называется открытым, если для любой точки этого множества найдется такая

, которая целиком содержится в этом множестве. Замкнутым множеством является сегмент [a;b].Открытость и замкнутость – не альтернативные понятия. Существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми. Например, [a;b) или (a;b]. Или одновременно открытые и замкнутые (Æ). Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке: 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀, то их сумма, произведение, частное (при j(х₀)¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х₀ 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀, и f(x₀)>0, то существует окрестность х₀, в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U₀, а U=j(x) непрерывна в U₀=j(x₀), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х₀. Дифференцирование ф-ций Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k<0-то у убыв. при всех х, k=0 – ф-ция постоянна Определение пр-ной 1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения Dх эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) Образуем разностное отношение Dy/Dx=Df(x0)/Dx (1) (это разностное отношение явл. ф-цией Dх, т.к. х0-фиксирована, причем при Dх®0 мы имеем дело с неопр. 0/0). Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он $), когда Dх®0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть ® к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(Dx®0) (f(x0+Dx)-f(x0))/Dx (2) Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) $, то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0. Частные производные высшего порядка. Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные. ¶z/¶x=f¢_x(x,y) ¶z/¶y=f¢_y(x,y) В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными. Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования. Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны. ¶²z/¶x¶y=¶²z/¶y¶x - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается. ¶ⁿz/¶x^n-2¶y² Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y) Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀ Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀ Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то ¶Z/¶x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие. Достаточный признак:

где A= Z``_XX(x₀,y₀), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀), 1) если D>0, то М₀ - точка экстремума; если А<0 или С<0, то М₀ - точка max; если А>0 или С>0, то М₀ - точка min. 2) если D<0, то экстремума нет 3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

50. Интегрирование по частям. Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

50.

Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим: