Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



ТЕМА 3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ



ТЕМА 3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Задача.В качестве примера рассмотрим эксперимент с одним фактором. Предположим, что проведены 5 опытов, результаты которых представлены в таблице. Необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии.

Решение.

Теперь можно написать уравнение у = 2 + 1х.


ТЕМА 4. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Задача.Требуется оценить качество пяти марок трансформаторного масла при уровне значимости 0,05. Критерием качества выбрано значение тангенса угла диэлектрических потерь при 60 С в %. Марки ранжированы числами натурального ряда от1 до 5. Результаты опытов приведены в матрице наблюдений.

Решение.

Фактором в эксперименте является трансформаторное масло, марка которого поддерживается на n = 5 уровнях. Заполняется первый столбец матрицы наблюдений. На каждом уровне фактора, т.е. для каждой марки трансформаторного масла проводится т = 6дублирующих опытов.

Номер уровня фактора (марка ТМ)

Экспериментальные значения tg, %
1,28 1,29 1,27 1,28 1,28 1,26
1,31 1,26 1,41 1,45 1,31 1,32
1,18 1,32 1,23 1,36 1,33 1,27
1,27 1,2 1,37 1,3 1,29 1,32
1,38 1,35 1,32 1,42 1,35 1,29

Дисперсионный анализ предназначен для выявления степени влияния контролируемых факторов на отклик. Проведение дисперсионного анализа возможно, если результаты измерений являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с одинаковыми дисперсиями.

Поэтому, перед дисперсионным анализом, на первом этапе необходимо выполнить проверку однородности дисперсий или воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена. Критерий Кохрена определяется как отношение наибольшей дисперсии к сумме всех дисперсий:

.

Дисперсия, характеризующая рассеяние результатов опыта на в i-ом уровне факторов  определяется как:

где mi – число параллельных опытов, yij – отклик j-ого параллельного опыта,  средний отклик в данном опыте, - наибольшая из дисперсий в строках плана.

Определим средний отклик в каждом опыте:

mi – число параллельных опытов во всех серия экспериментов одинаково m = 6.

Дисперсии каждой серии экспериментов:

Максимальная дисперсия

Критерий Кохрена:

Сравним расчетное значение критерия Кохрена с табличным. Gтабл = 0,506 при ν =m – 1=5 и 5 измеренияхG = 0,339 < Gтабл = 0,506, поэтому процесс считается воспроизводимым, дисперсии однородными и можно приступить к дисперсионному анализу.

Для выявления степени влияния марки трансформаторного масла на tg определим значение критерия Фишера:

где  - дисперсия отклика, которая оценивает рассеивание значений отклика, вызванное контролируемым фактором, - средняя дисперсия воспроизводимости,которая оценивет влияние неконтролируемых факторов:

Для определения дисперсии отклика необходимо расчитать выборочную среднюю:

Дисперсия отклика составит:

Критейрий фишера равен:

Табличное значение критерия Фишера определяется при числе степеней свободы ν1 = n  – 1 =

5 – 1 = 4  и ν 2 = n * (m - 1) =5* (6 - 1) = 25 Fтабл  = 2,76. Поскольку F = 2,535 < Fтабл= 2,76, то изменение тангенса угла диэлектрических потерь при изменении марки трансформаторного масла следует считать незначимым.

Задача.Проведен эксперимент по оценке влияния влажности на эффективное сопротивление резисторов, от 4 различных поставщиков. Оценить при уровне значимости 0,05 имеются ли статистически значимые различия между резисторами четырех поставщиков.

Решение.

Число уровней фактора n = 4, т = 3 – число параллельных опытов.

Номер уровня фактора

Экспериметальное значение отклика
10.2 10.5
9.5 9.8 9.7
8.9 9.2
9.5 9.6 9.7

Поэтому, перед дисперсионным анализом, на первом этапе необходимо выполнить проверку однородности дисперсий или воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена. Критерий Кохрена определяется как отношение наибольшей дисперсии к сумме всех дисперсий:

.

Дисперсия, характеризующая рассеяние результатов опыта на в i-ом уровне факторов  определяется как:

где mi – число параллельных опытов, yij – отклик j-ого параллельного опыта,  средний отклик в данном опыте, - наибольшая из дисперсий в строках плана.

Определим средний отклик в каждом опыте:

mi – число параллельных опытов во всех серия экспериментов одинаково m = 3.

Дисперсии каждой серии экспериментов:

 

Критерий Кохрена:

Сравним расчетное значение критерия Кохрена с табличным. Gтабл = 0,786 при ν =m – 1=2.

G = 0,528 < Gтабл = 0,786, поэтому процесс считается воспроизводимым, дисперсии однородными (принимается нулнвая гипотеза) и можно приступить к дисперсионному анализу.

Для выявления степени влияния марки трансформаторного масла на tg определим значение критерия Фишера:

где  - дисперсия отклика, которая оценивает рассеивание значений отклика, вызванное контролируемым фактором, - средняя дисперсия воспроизводимости,которая оценивет влияние неконтролируемых факторов:

Для определения дисперсии отклика необходимо расчитать выборочную среднюю:

Дисперсия отклика составит:

Критейрий фишера равен:

Табличное значение критерия Фишера определяется при числе степеней свободы ν1 = n – 1 =

4– 1 = 3  и ν 2 = n * (m - 1) =4* (3 - 1) = 8 Fтабл  = 4,07. Поскольку F = 24,074 > Fтабл= 4,07, то с точки зрения влияния влажности имеются различия между резисторами четырех поставщиков.
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.