Поворот, осевая симметрия.

Поворот, осевая симметрия.

Допустим, мы имеем некоторую плоскость, на которой задана точка О (цент поворота) и угол α (угол поворота). Поворотом плоскостивокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ=ОМ₁ и угол МОМ₁ равен α. При этом точка О остается на месте, т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Докажем это. Пусть О – центр поворота, α – угол полворота против часовой стрелки(случай поворота по часовой стрелке рассматривается аналогично). Допустим, что при этом повороте точки M и N отображаются в точки М₁ и N₁ . Треугольники OMN и OМ₁ N₁ равны по двум сторонам и углу между ними: OM= OМ₁ , ON=ON₁ и <MON= < М₁ O N₁ (каждый из этих углов равен сумме угла α и угла М₁ ON). Из равенства этих треугольников следует, что MN=М₁ N₁ , т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками М₁ и N₁.

Итак, поворот сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки O на данный угол α.

Осевая симметрияотображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно оси а.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

При осевой симметрии:

--- неподвижной является каждая точка оси симметрии и других неподвижных точек не существует;

--- неподвижной прямой является ось симметрии (на ней индуцируется тождественное преобразование) и любая прямая, пересекающая ось симметрии и ей перпендикулярная (на каждой из этих прямых индуцируется центральная симметрия относительно точки ее пересечения с осью симметрии);

--- неподвижной является любая плоскость, перпендикулярная оси (в каждой такой плоскости индуцируется центральная симметрия относительно точки ее пересечения с осью симметрии);

--- осевая симметрия --- движение первого рода;

--- преобразование, обратное осевой симметрии, есть эта же осевая симметрия, следовательно, композиция двух осевых симметрий относительно одной и той же оси есть тождественное преобразование.