Главная Контакты Случайная статья Автоматизация Антропология Археология Архитектура Биология Ботаника Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Деревообработка Журналистика Зоология Изобретательство Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Косметика Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Материаловедение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыка Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Полиграфия Политология Право Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Электротехника Энергетика
	ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ. Модель парной линейной регрессии.. Решение   Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт цветных металлов и материаловедения Кафедра АППТМ                                                                                    ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ Модель парной линейной регрессии     Преподаватель                            ________                 Т.В. Пискажова Студент МЦ15-15                       ________                 А.А. Потапчик   Красноярск 2015 Модель парной линейной регрессии. Задания: 1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость. Сопоставить в отчете коэффициенты, рассчитанные по формулам 1.1-1.6 и функциями Microsoft Excel. Рассчитать также для одного столбца дисперсию по формуле 2. Построить линейное уравнение парной регрессии y(x), рассчитав коэффициенты регрессии. Сделать рисунок с помощью точечной диаграммы с выводом уравнения тренда и коэффициента R2. Оценить статистическую значимость параметров регрессии. 3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F-критерия Фишера. Сверить полученные коэффициенты и оценки с результатами «Анализ Данных. Регрессия» Microsoft Excel! 4. Выполнить прогноз показателя y при прогнозном значении x, составляющем 101-105% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости a=0,05. Решение 1. Для определения степени тесноты связи обычно используют линейный коэффициент корреляции: ,                                                   где ,  – выборочные дисперсии переменных x и y,  – ковариация признаков. Соответствующие средние определяются по формулам: ,                                                ,                                    ,                                                .                                             Для расчета коэффициента корреляции (1.1) строим расчетную таблицу (табл. 1.2): Таблица 1.1 Номер пробы Высота настыля, см Куски, шт xy x2 y2 y(x) e=y-y(x) e2 x y 40,2 256,1				246,6244	9,5	89,78673
	41,2	319,4				210,5458	108,9	11849,25
	40,6	302,6				231,2694	71,3	5088,053
	40,3	206,1				242,7706	-36,7	1344,735
	41,6	246,0				192,4812	53,5	2864,259
	42,0	226,8				180,6266	46,2	2131,979
	42,1	182,3				174,5525	7,7	60,02413
	43,3	135,1				131,4345	3,7	13,43606
	43,3	99,6				130,5234	-30,9	956,2575
	43,3	98,1				131,8827	-33,8	1141,27
	43,0	117,5				141,5529	-24,1	578,542
	41,3	115,9				206,2504	-90,4	8163,203
	43,0	178,7				142,0382	36,7	1344,085
	41,1	212,3				213,736	-1,4	2,062164
	41,1	210,4				212,7167	-2,3	5,367292
	41,6	198,7				192,4781	6,2	38,71253
	42,3	249,3				168,8605	80,4	6470,518
	40,9	139,9				222,3359	-82,4	6795,686
	40,3	217,2				241,8416	-24,6	607,2106
	39,7	132,1				264,2668	-132,2	17468,07
	41,6	149,1				194,9818	-45,9	2105,142
	39,6	159,7				270,1377	-110,4	12196,48
	39,5	160,8				274,8277	-114,0	13002,33
	40,5	159,0				233,7235	-74,7	5583,599
	39,8	202,9				262,2417	-59,3	3521,434
	41,2	212,1				210,7983	1,3	1,694374
	40,4	229,2				237,7367	-8,5	72,87549
	40,4	221,6				240,0218	-18,4	339,3611
	41,4	170,8				200,6348	-29,8	890,1135
	40,7	266,8				226,1749	40,6	1650,395
	38,8	251,3				301,0287	-49,7	2472,945
	37,5	191,1				348,447	-157,3	24758,08
	38,4	256,8				314,0912	-57,3	3282,284
	37,7	253,9				341,0598	-87,2	7596,831
	37,2	322,8				358,5914	-35,8	1281,028
	39,3	363,3				282,2777	81,0	6564,608
	36,1	489,1				401,2122	87,9	7724,266
	37,5	531,0				346,9797	184,0	33863,47
	39,8	375,5				262,0971	113,4	12860,22
	40,4	336,0				239,8252	96,2	9249,59
	39,7	339,1				267,1454	72,0	5177,462
	37,6	381,2				343,9532	37,2	1387,327
	35,6	375,9				420,1442	-44,2	1957,547
	35,1	444,1				440,2919	3,8	14,50187
	35,1	401,9				438,7847	-36,9	1360,479
	38,8	366,7				299,4286	67,3	4525,437
	38,3	443,6				318,9663	124,6	15533,57
	37,4	382,8				353,6541	29,1	849,4824
	34,7	391,2				454,8213	-63,6	4047,672
	34,9	487,3				445,2511	42,0	1768,109
	35,6	469,3				421,8818	47,4	2248,487
итого
среднее

По данным таблицы находим:

Дисперсии и СКО по генеральной совокупности.

, ,

, ,

Дисперсии и СКО по выборке.

, ,

, ,

=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;49)=2,01

, .         

=КОРРЕЛ(B3:B53;C3:C53) = -0,78

Таким образом, между кусками (y) и высотой настыля (x) существует обратная достаточно сильная корреляционная зависимость.

Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитывают двухсторонний t-критерий Стьюдента:

,

который имеет распределение Стьюдента с k=n–2 и уровнем значимости a.

В нашем случае

  и   .

Т крит - это табличное значение, найденное в Excel с помощью функции

СТЬЮДРАСПРОБР.  У нас n=51  - число измерений.

Поскольку по модулю , то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и значит наш коэффициент корреляции является статистически значимым.

2. Таким образом, между переменными x и y имеет существенная корреляционная зависимость. Будем считать, что эта зависимость является линейной.

По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

,                                                        (1.7)

где b₀ и b₁ – эмпирические коэффициенты регрессии.

Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). В соответствие с МНК, сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических  была минимальной:

,                                             (1.8)

где  – отклонения y_i от оцененной линии регрессии. Необходимым условием существования минимума функции двух переменных (1.8) является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b₀ и b₁. В результате получаем систему нормальных уравнений:

Решая систему, найдем

,                                                                   (1.9)

.                                               (1.10)

       По формулам 1.9-1.10 находим

;

.

Получено уравнение регрессии:

                                                                      (1,11)

Параметр b₁ называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением высоты настыля на 1 сантиметр количество кусков уменьшается в среднем на 37,66 шт.

Рис. 1.1

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки статистической значимости каждого коэффициента регрессии. Для этого вычислим сначала стандартную ошибку регрессии

.                                           (1.12)

В нашем случае

.

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента:

,    =                                                 (1.13)

где  – дисперсия коэффициента регрессии.

Для коэффициента b₁ оценку дисперсии можно получить по формуле:

.                                                          (1.14)

В нашем случае

Следовательно,

.

Отметим, что для парной линейной регрессии t-критерий для коэффициента корреляции r_xy и коэффициента регрессии b₁ совпадают.

Для коэффициента b₀ оценку дисперсии можно получить по формуле:

.                                                          (1.15)

Тогда

Критическое значение критерия было уже найдено . Поскольку по модулю  и , то коэффициенты регрессии значимо отличаются от нуля.

Сравнить стандартную ошибку регрессии и Т-статистики коэффициентов с полученными ниже в таблице 1.3!

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

3. Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации для линейной модели равен квадрата коэффициента корреляции

Это означает, что 61% вариации количество кусков (y) объясняется вариацией фактора x – высотой настыля.

       Значимость уравнения регрессии проверяется при помощи F-критерия Фишера, для линейной парной регрессии он будет иметь вид

,                                                        (1.16)

где F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости a и степенями свободы k₁=n–2 и k₂=1.

В нашем случае

.

Поскольку критическое значение критерия равно

и , то признается статистическая значимость построенного уравнения регрессии.

Fкрит это табличное значение и было найдено с помощью функции FРАСПРОБР.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии (1.11) соответствующего (прогнозного) значения x_p. В нашем случае прогнозное значение высоты настыля составит: , тогда прогнозное значение количества кусков:

Средняя стандартная ошибка прогноза вычисляется по формуле:

.                                         (1.17)

В нашем случае

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза

,

или

.

Выполненный прогноз количества кусков оказался надежным (g=0,95) и точным, т.к. относительная точность прогноза составила 147,41/161,2×100%=82,35%.