МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ№ 6

Учебная дисциплина:Математика (включая алгебру и начала математического анализа, геометрию).

Тема:«Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний»

Цель занятия:

1)Обобщение, закрепление теоретических знаний:

Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; основные правил комбинаторики.

2)Формирование умений: Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики

Норма времени: 80 мин.

Основные понятия.

Элементы комбинаторики

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвуетВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:

Задача 1Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели ~~встали, легли~~ на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке.

Задача 2Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы

Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек:

Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить способами.

Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:057905970759079509570975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных.

Сочетаниями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из mэлементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Задача 3.В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными– даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пятьуникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

– единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Задача 4Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36-ти.

Ответ: 7140

Размещениями называют различные комбинации из mобъектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле

Задача 5.В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Решение: способами.

Другой вариант решения: способами можно выбрать 2-х человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506

Правило сложения комбинаций

Задача 6.Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1-му объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13-ти девушек, Евгений – тоже любую из 13-ти девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13-ти девушек тоже может пригласить на танец любого из 10-ти юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2-х юношей и 2-х девушек для участия в сценке КВН?

СоюзИ означает, что комбинации необходимо перемножить:

возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на большее количество множителей:

Задача 7.Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десяткови 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десяткови с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

Задача 8.У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем: во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах. Это очень важное условие!

а) Понадобятсясразу все коты

+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:

способами можно рассадить котов по углам комнаты.

При перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

На прогулку могут выйти 1, 2, 3 или 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

способами можно отпустить гулять одного кота (любого из 4-х);
способами можно отпустить гулять двух котов;
способами можно отпустить гулять трёх котов;
способом можно выпустить всех котов.

Полученные значения следует просуммировать:

способами можно отпустить гулять котов.

в) Сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2-х животных, но и их размещение по рукам:
способами можно взять на руки 2-х котов.

Второй вариант решения: способами можно выбрать двух котов и способами посадить каждую пару на руки:

Ответ: а) 24, б) 15, в) 12

Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек. Сколькими способами можно отпустить гулять 2-х котов и одну кошку? . То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

ВЫПОЛНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАНИЯ:

1 вариант

С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.

Анна, Белла и Вера купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти места.

У лесника три собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

4. Для участия в команде тренер отбирает 7 мальчиков из 14. Сколькими способами он может сформировать команду, если 3 определенных мальчика должны войти в команду?

5. В шахматном турнире принимали участие 19 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

2 вариант

Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и 0, если: а) одинаковых цифр в числах не должно быть; б) цифры в числах могут повторяться.

Из трех стаканов сока - ананасового, брусничного и виноградного - Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать.

У Марии 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Марии?

4. Для участия в показе мод отбирают 8 девушек из 16. Сколькими способами можно сформировать группу, если 2 определенных девушки должны войти в группу для показа мод?

5. В соревнованиях по футболу принимали участие 17 команд, причем каждая из них сыграла только одинматч с каждой из остальных. Сколько всего матчей было сыграно в этихсоревнованиях?