Вопросы к экзамену. 1-й семестр

Вопросы к экзамену. 1-й семестр

1. Алгебраически замкнутые поля, формулировка основной теоремы алгебры.

2. Комплексные корни вещественных многочленов.

3. Неприводимые многочлены над полями вещественных и комплексных чисел.

4. Поле частных области целостности.

5. Поле дробно-рациональных функций. Правильные дроби.

6. Примарные дроби. Лемма о дроби, знаменатель которой разложен на два взаимно простых множителя.

7. Разложение правильной дроби в сумму правильных примарных дробей.

8. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.

9. Действия над матрицами и их свойства.

10. Элементарные преобразования и элементарные матрицы.

11. Приведение матрицы к ступенчатому виду элем. преобразованиями строк.

12. Приведение матрицы к простейшему виду элем. преобразованиями строк и столбцов.

13. PDQ-разложение. Разложение обратимой матрицы в произведение элементарных.

14. Разложение перестановки в произведение транспозиций и элементарных транспозиций.

15. Чётность и знак перестановки.

16. Определение определителя. Определитель транспонированной матрицы.

17. Линейность определителя по строкам и столбцам.

18. Кососимметричность определителя по строкам и столбцам.

19. Поведение определителя при элементарных преобразованиях матрицы.

20. Критерий обратимости матрицы в терминах определителя.

21. Определитель произведения матриц.

22. Определитель блочно-треугольной матрицы.

23. Определитель матрицы с почти нулевой строкой.

24. Разложение определителя по строке (столбцу).

25. Взаимная матрица. Явный вид обратной матрицы.

26. Линейное пространство. Определение, примеры, простейшие свойства.

27. Система образующих линейного пространства, свойства. Подпространство.

28. Линейно зависимые семейства, свойства.
29. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
30. Равносильные определения базиса.
31. Размерность.Свойства пространств заданной размерности.

32. Размерность подпространства. Классификация конечномерных пространств.

33. Свойства матриц перехода между базисами.

34. Изменение координат вектора при замене базиса.

35. Ранг набора векторов. Столбцовый и строчный ранг матрицы.
36. Равенство столбцового и строчного ранга.
37. Ранг произведения матриц. Связь ранга с PDQ-разложением.

38. Условия эквивалентные обратимости матрицы.

39. Минорный ранг.

40. Системы линейных уравнений. Классификация. Метод Гаусса.

41. Теорема Крамера.

42. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определённости совместной системы.

43. Линейные отображения. Примеры. Ядро и образ.

44. Связь между размерностями ядра и образа.