Основной закон динамики вращения. Момент инерции

Основной закон динамики вращения. Момент инерции

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела произвольной формы вокруг оси, проходящей через тело. Разложим действующую силу на три компоненты - вдоль оси, перпендикулярную к оси и вращающую. Вращение тела вызывает компонента , касательная к окружности, описываемой точкой A.

Все точки тела описывают окружность и имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Вращающее действие силы

, зависит от ее величины и от расстояния от точки приложения до оси вращения r.

Моментом вращающей силы называется векторное произведение радиуса-вектора, лежащего в плоскости окружности, описываемой точкой приложения вращающей силы на силу

Хотя сила F приложена к точке A, ее вращающее действие передается всем частицам тела, т.е. к каждой элементарной массе будет приложена элементарная вращающая сила. По II закону Ньютона

Умножая обе части равенства на r_i и учитывая, что

или - момент инерции элементарной массы (материальной точки), его размерность [кг . м²].

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек тела

Основной закон динамики вращения (II закон Ньютона для вращательного движения):
Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

Момент инерции тела характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно массе, характеризующей инерционные свойства тела при поступательном движении. Момент инерции тела имеет множество значений, в зависимости от оси вращения.

Если вращающий момент M = const постоянен и момент инерции J = const, то основной закон вращения можно представить в виде

M Δt - импульс момента силы, Jω-момент импульса тела .

Закон изменения момента импульса:
Изменение момента импульса тела за промежуток времени равно импульсу момента силы.

Момент импульса тела :
Изменение импульса во времени равно

т.к. - момент силы.

Учтем, что , т.е. для материальной точки

Для тела , т.е.

- момент импульса тела.

- основное уравнение динамики вращения.