Вопросы и ответы к экзамену по аналитической геометрии Лектора Ивановой

Вопросы и ответы к экзамену по аналитической геометрии Лектора Ивановой

Аванпост ЛаПлаза № 3X^3+const

1) Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Основная лемма (теорема) о коллинеарных векторах. Свойства линейных операций. Линейное пространство векторов.

Отрезокпрямой называется направленным отрезком(НО), если его концыупорядочены, т.е. указано: какой из них –первый (начало), какой –второй (конец). Его такженазывают геометрическим вектороми обозначают AB

2) Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Леммы (теоремы) о линейной зависимости.

3) Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Леммы о линейной зависимости 2, 3 и 4 векторов.

4) Базисы в пространстве, на плоскости и на прямой. Теоремы о базисах в пространстве, на плоскости и на прямой. Координаты вектора.

5) Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

6) Скалярное произведение и его свойства. Ортогональные векторы. Кри-

терий ортогональности.

7) Понятие ОНВ. Теорема о декартовых координатах. Выражение скаляр-

ного произведения через декартовы координаты сомножителей в ОНБ.

Направляющие косинусы.

8) Векторное произведение и его свойства (включая линейность). Критерий

коллинеарноети двух векторов.

9) Смешанное произведение и его свойства. Критерий компланарности трехвекторов.

10) Аффинные и длекартовы системы координат. Связь между координатами

точек и векторов. Преобразование длекартовых прямоугольных систем

коорлинат на плоскости.

11) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей вОНБ.

12) Выражение смешанного произведения через координаты сомножителейв ОНБ.

13) Понятие об уравнениях линии и поверхности. Алгебраические ЛИНИИ НаПЛОСКОСТИ И алгебраические поверхности в пространстве, Теорема об инвариантности порядка алгебраической ЛИНИИ На плоскости.

14) Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве, проходящихчерез заданную точку и ортогональных заданному вектору.

15) Общее уравнение первого порядка на плоскости и в пространстве. Теоремы об общем уравнении плоскости и прямой на плоскости.

16) Различные виды уравнений прямой на, плоскости. Переход от одного вида к другому.

17) Нормальное уравнение прямой на плоскости.Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормальному виду. Расстояние от точки

до прямой на плоскости. Уравнения биссектрис.

18) Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

19) Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

20) Прямая в пространстве. Различные способы задания. Переход от одногоспособа, задания прямой к другому.

21) Вычисление углов между прямыми на, плоскости и в пространстве, между плоскостями в пространстве, между прямой и плоскостью в пространстве.Признаки параллельности и ортогональности (прямых на плоско-

сти, плоскостей в пространстве, прямой и плоскости в пространстве).

22) Скрещивающиеся прямые. Вычисление расстояния между ними. Вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве. Критерий скрещиваемости.

Общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

23) Эллипс. Вывод канонического уравнения. Свойства эллипса.

24) Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства гиперболы.

25) Парабола. Вывод канонического уравнения. Свойства.параболы.

26) Эксцентриситет, директрисы(-а) эллипса, гиперболы и параболы.

27) Преобразование коэффициентов алгебраического уравнения 2-го порядка при переходе к новой декартовой прямоугольной системе координат.

28) Инварианты алгебраической линии 2-го порядка на плоскости.

29) Приведение уравнений алгебраической линии 2-го порядка на плоскостик каноническому виду (случай центральных кривых).

30) Приведение уравнений алгебраической линии 2-го порядка на плоскостик каноническому виду (случай нецентральных кривых).

31) Классификация алгебраических линий 2-го порядка на плоскости по инвариантам.

32) Цилиндрические поверхности. Теорема о форме уравнения цилиндрической поверхности. Цилиндры 2-го порядка, (определение и классификация).

33) Конические поверхности и поверхности вращения. Теоремы о форме ихуравнений. Конусы и поверхности вращения 2-го порядка. Исследованиеформы конической поверхности методом сечений.

34) Канонические уравнения эллипсоидов и гиперболоидов. Исследованиеих формы методом сечений.

35) Канонические уравнения эллипсоидов и гиперболоидов. Исследованиеих формы методом сечений.

36) Канонические уравнения параболоидов. Исследование их формы методом сечений.

37) Прямоугольные матрицы. Линейные операции над ними. Свойства, линейных операций над матрицами.

38) Умножение прямоугольных матриц и его свойства.

39) Транспонированные и сопряженные матрица и их свойства. Симметричные и кососимметричные матрицы.

40) Перестановки. Теорема.о транспозиции.

41) Общее определение определителя. Вычисления определителей 2-го и 3го порядков. Определитель диагональной и треугольной матриц. Теорема об определителе произведения матриц (без док-ва).

42) Лемма о знаке члена, определителя. Теорема об определителе транспонированной матрицы и ее следствия.

43) Свойство определителя, связанное с перестановкой строк (столбцов) иего следствия.

44) Свойство линейности определителя и его следствия.

45) Миноры и алгебраические дополнения. Лемма об определителе матрицы

46) специального вида.

47) Теоремы о разложении определителя по строке и по столбцу. Теорема осумме произведений элементов 1-ой строки на алгебраические дополнения элементов 7-ой строки.

48) Обратная матрица и ее свойства.

49) Критерий обратимости матрицы.

50) Линейная зависимость и линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной

зависимости и линейной независимости.

51) Определение ранга.матрицы. Базисные строки и столбцы. Теорема о базисном миноре.

52) Следствия теоремы о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы.

53) Элементарные преобразования строк. Теорема об инвариантности ранга,матрицы при элементарных преобразованиях. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

54) Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.