Вопросы к коллоквиуму № 2 по функциональному анализу

Вопросы к коллоквиуму № 2 по функциональному анализу

( группа КММ, 3–й курс, 2020–21 учеб. год )

1. Линейное пространство (определение и простейшие свойства).

2. Примеры линейных пространств.

3. Отрезок в ЛП, выпуклое множество (определения).

4. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (определения).

5. Линейное многообразие ( ЛМ ), базис ЛМ, размерность ЛМ (определения).

6. Определение бесконечномерного ЛМ ( или ЛП ).

7. Прямая сумма линейных многообразий (определение).

8. Нормированное пространство (определение). Сходимость по норме и простейшие свойства (с доказательством).

9. Банахово пространство (определение). Подпространство нормированного пространства (определение).

10. Примеры нормированных пространств

11. Эквивалентные нормы: определение и простейшие свойства (с доказательством).

12. Теорема об эквивалентности норм в любом конечномерном нормированном пространстве (без доказательства).

13. Два следствия (о полноте конечномерного пространства и о подпространстве) (с доказательством).

14. Компактность и конечномерность. Критерий конечномерности нормированного пространства (без доказательства).

15. Линейное пространство со скалярным произведением (определение).

16. Неравенство Коши – Буняковского (без вывода).

17. Норма в пространстве со скалярным произведением (доказательство выполнения аксиом нормы).

18. Теорема о непрерывности скалярного произведения (с доказательством).

19. Определение гильбертова пространства.

20. Примеры пространств со скалярным произведением.

21. Ортогональные элементы, ортогональное дополнение множества (определения).

22. Теорема о разложении элемента в сумму проекций (без доказательства).

23. Ортогональные и ортонормированные системы элементов (определения).

24. Ряд в нормированном пространстве, сходящийся ряд (определения).

25. Задача о наилучшей аппроксимации (постановка задачи и решение).

26. Коэффициенты Фурье, ряд Фурье (определения).

27. Неравенство Бесселя и теорема о сходимости ряда Фурье (с доказательством).

28. Замкнутая ортонормированная система элементов (определение). Критерий сходимости ряда Фурье (с доказательством). Пример замкнутой системы.

29. Определение полной ортонормированной системы элементов. Теорема о полной ортонормированной системе элементов (без доказательства).

30. Определение линейного оператора и линейного ограниченного оператора. Теорема о равносильности таких свойств линейного оператора, как ограниченность, непрерывность, непрерывность в нуле и т.д. (с доказательством).

31. Определение нормы линейного ограниченного оператора. Теорема о вычислении нормы линейного ограниченного оператора (с доказательством).

32. Вычисление нормы оператора, действующего в конечномерном пространстве.

33. Вычисление нормы оператора интегрирования.

34. Вычисление нормы оператора дифференцирования, действующего из C¹[0,1] в C[0,1]. Оператор дифференцирования, действующий в C[0,1] (доказательство неограниченности).

35. Линейный ограниченный функционал (определение). Определение нормы ограниченного функционала. Пример ограниченного функционала.

36. Пространство линейных непрерывных операторов: операции на множестве L(E,F), проверка аксиом линейного пространства и аксиом нормы.

37. Теорема о полноте пространства линейных непрерывных операторов (без доказательства).

Литература ( см. vk.com/func_an )

1. Смагин В.В. Линейные нормированные пространства. Учебное пособие.

2. Смагин В.В. Линейные операторы и функционалы. Учебное пособие.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 1989.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. Наука, 1993

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.

6. Конспекты и презентации по ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ.