Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

по математике

7-8 класс

2020-2021 учебный год

Максимальное количество баллов: 35

ЗАДАНИЯ и ОТВЕТЫ ДЛЯ 8 КЛАССА

Одна утка и два гусака

Весят столько, сколько три петуха.

А две утки и пять петухов

Весят столько, сколько семь гусаков.

Определить прошу в задаче-шутке

Кому худеть: кто весит больше гусь, петух иль утка?

Решение:

Пусть х – вес утки, y – вес гуся, z – вес петуха.

Из условия задачи получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем, что x=y=z. Все весят одинаково, худеть никому не надо.

Критерии:

0 баллов: решение задачи отсутствует или не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена;

1-2 балла: задача не решена, но подход к решению правильный - правильно составлена система уравнений, но ее решение не доведено до конца;

3-4 балла: задача решена частично, т.е. ход решения правильный, но в решении системы уравнений содержатся вычислительные ошибки;

5баллов: задача решена в целом, но не сделан вывод по решению, не сформулирован ответ;

6-7 баллов: задача решена правильно.

Гладиолусы, георгины и гортензии произрастают на клумбе и занимают вместе только ее часть. Если оставшуюся часть клумбы засадить гортензиями, то они займут половину всей клумбы, а если свободное на клумбе место поровну поделить между георгинами и гладиолусами, то георгины займут половину клумбы. Во сколько раз увеличится площадь, занимаемая гладиолусами, если ими засадить полностью оставшуюся часть клумбы?

Решение:

Пусть x – площадь пустой части клумбы, а площадь всей клумбы примем за 1.

Тогда гортензия изначально занимает

Георгины изначально занимают

Получаем, что гладиолусы изначально занимают

Если пустую часть полностью засадить гладиолусами, то их площадь станет равна , то есть увеличится в три раза.

Критерии:

0 баллов: решение задачи отсутствует или не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена;

1-2 балла: задача не решена, но подход к решению правильный - обозначена идея выражения изначальных площадей, занимаемых растениями, через площадь всей клумбы и пустой ее части, но она не реализована в решении;

3-4 балла: задача решена частично, т.е ход решения правильный, верно выражены площади, занимаемые растениями изначально, но далее решение не доведено до конца;

5баллов: задача решена в целом, но в ее решении содержатся вычислительные ошибки;

6-7 баллов: задача решена правильно.

Прямая проходит через две точки с целыми координатами: A(10;5) и B(-20;-9). Есть ли на этой прямой еще «целочисленные точки» (т.е. точки с целыми координатами)?

Решение:

Характерным свойством линейной функции является то, что когда аргумент увеличивается равномерно, т.е. на одно и то же число, значение функции меняется тоже равномерно. Это характеристическое свойство можно выразить так: линейная функция переводит одну арифметическую прогрессию в другую арифметическую прогрессию.

Задачу можно перефразировать так: функция переводит арифметическую прогрессию 10, -20, … в арифметическую прогрессию 5, -9, … (и нам надо продолжить эти арифметические прогрессии).

Таким образом, целочисленные точки на данной прямой есть, их бесконечно много (например, подходит точка C(-50; -23)).

Критерии:

0 баллов: решение задачи отсутствует или не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена;

1-2 балла: приведены целочисленные координаты одной из точек, лежащих на прямой без какого-либо обоснования;

3-4 балла: задача решена частично, т.е обоснование хода решения верное, но решение не доведено до конца;

5баллов: задача решена в целом, но присутствуют вычислительные ошибки при нахождении целочисленных координат или сделан вывод о существовании конечного числа точек с целочисленными координатами;

6-7 баллов: задача решена правильно.

Найти последнюю цифру числа

Решение:

Находя значения натуральных степеней числа 8, замечаем закономерность: последней цифрой числа являются 8, 4, 2, 6, а далее они повторяются. Так как 2021=505*4+1, то оканчивается той же цифрой, что и 8¹, то есть 8.

Критерии:

0 баллов: решение задачи отсутствует или не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена;

1-2 балла: приведен ответ без какого-либо обоснования;

3-4 балла: задача решена частично, т.е высказана идея закономерности появления последней цифры в числе являющемся степенью восьмерки, но решение не доведено до конца;

5баллов: задача решена в целом, но присутствуют вычислительные ошибки;

6-7 баллов: задача решена правильно.

В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. При этом AB=BO=OD. На отрезке OC отмечена точка H так, что АО=HC. Найти , если известно, что , .

Решение:

Критерии:

0 баллов: решение задачи отсутствует или не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена;

1-2 балла: задача не решена, но подход к решению правильный - верно доказано равенство треугольников АВН и ODC;

3-4 балла: задача решена частично, найден верный ответ, но нет доказательства равенства треугольников АВН и ODC;

5баллов: задача решена в целом, но присутствуют вычислительные ошибки при вычислении искомого угла;

6-7 баллов: задача решена правильно.