Экзаменационные вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Экзаменационные вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии.

(Типовые)

Элементы линейной алгебры

1. Определение матрицы. Линейные операции с матрицами, их свойства.

2. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Блочные матрицы. Скалярная матрица. Элементарные преобразования матриц.

3. Определители. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке или по столбцу.

4. Методы вычисления определителей второго и третьего порядков, n-го порядка. Определитель произведения квадратных матриц.

5. Обратные матрицы, теорема о существовании обратной матрицы, методы ее нахождения.

6. Системы линейных уравнений. Матричная запись систем линейных уравнений. Правило Крамера.

7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

8. Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы.

9. Линейные (векторные) пространства (примеры). Подпространства.

10. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Примеры.

11. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Теорема о разложении вектора по базису (единственность разложения).

12. Ранг матрицы, базисный минор. Сохранение ранга матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы.

13. Методы вычисления ранга матрицы (метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований

14. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера–Капелли.

15. Структура общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

16. Структура и нахождение общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

17. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен.

18. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

19. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Элементы векторной алгебры

20. Геометрические векторы в трехмерном пространстве. Проекции вектора и его координаты, декартовы координаты.

21. Линейные операции над векторами и их свойства.

22. Модуль вектора, орт-вектор и направляющие косинусы вектора.

23. Скалярное произведение векторов, его свойства.

24. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах.

25. Приложения скалярного произведения.

26. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства. Выражение векторного произведения через координаты в ортонормированном базисе.

27. Геометрические приложения векторного произведения. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

28. Смешанное произведения векторов, его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Геометрические приложения смешанного произведения. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Элементы аналитической геометрии

29. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости (векторно-параметрическое, параметрическое, каноническое).

30. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости (уравнение прямой, проходящей через 2 точки, уравнение прямой в отрезках, общее уравнение прямой).

31. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости (уравнение прямой в отрезках, общее уравнение прямой, уравнение по точке и угловому коэффициенту).

32. Угол между прямыми, взаимное расположение прямых на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

33. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

34. Поверхности и их уравнения. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости (по точке и нормальному вектору, общее уравнение плоскости).

35. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости (уравнение плоскости в отрезках, параметрическое уравнение плоскости, общее уравнение плоскости).

36. Поверхности и их уравнения. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости (уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум векторам, по трем точкам, общее уравнение плоскости).

37. Угол между плоскостями, взаимное расположение плоскостей, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

38. Прямая в пространстве и ее уравнения.

39. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение его к каноническому виду.

40. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, между двумя прямыми.

41. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости в пространстве.

42. Кривые второго порядка на плоскости. Классификация кривых второго порядка на плоскости. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, их свойства.

43. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка.

44. Приведение уравнения кривой или поверхности второго порядка к каноническому виду.

45. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.