![]()
|
|||
Федеральное агентство по образованиюФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Аналитическая геометрия
Индивидуальные задания
Пермь 2007 Образец решения варианта
Задача 1.Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А. Решение: Рис. 1 Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка Уравнение медианы AD: Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ ^ АС, следовательно Уравнение высоты из вершины В: Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместно из уравнения Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x1,y1)и D (x2,y2) на плоскости А (1,-3), D (5,3) Задача 2.Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой Решение: Рис. 2 Уравнения искомых прямых имеют вид
Тогда Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной из прямой Задача 3.Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD || BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному. Решение: Составим уравнение прямой ВС (уравнение прямой, проходящей через две точки). От общего уравнения прямой ( Средняя линия трапеции параллельна ВС и проходит через середину отрезка АВ. Е – середина АВ, следовательно Е ( Так как прямые параллельны, то Уравнение средней линии трапеции: Уравнение прямой в отрезках: Рис. 3
Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим Рис. 4 Нормальное уравнение прямой (Рис. 5) Рис. 5 Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель Находим нормирующий множитель Направляющие косинусы
Задача 4. Найти расстояние между параллельными прямыми Решение: Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой
Задача 5.Даны точки М1 (-3; 7; -5) и М2 (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной вектору Решение: Найдем координаты нормального вектора Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М ( Искомое уравнение плоскости: Задача 6.Через точку пересечения плоскостей Решение: Плоскости пересекаются, следовательно Так как искомая плоскость параллельна плоскости Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно данному вектору Расстояние от точки Задача 7.Плоскость a проходит через точки: Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Раскрывая этот определитель, получим Угол между плоскостями определяется по формулам
Задача 8.Общее уравнение прямой Решение: Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y. Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая их почленно, получим Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим Второй способ. Найдем направляющий вектор Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку
Задача 9.Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой Решение: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (х1; y1; z1) и N(x2; y2; z2): Прямая l: Тогда При Задача 10.При каких значениях n и А прямая Решение: Рис. 6 В данном случае При А = -4; n = Если n = -1, то прямая имеет вид Если А = 3, то плоскость имеет вид Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: Острый угол между прямой Задача 11.Дана прямая Решение: Проведем через М плоскость a, перпендикулярную к данной прямой. a: Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: Точка Q имеет координаты Вариант 1 1. Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения его сторон. 2. Через точку пересечения прямых 3. К какой из двух прямых: 4. Показать, что отрезки прямых 5. Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD. 6. Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости. 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Найти точку пересечения прямой 10. Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. При каком значении m прямая 11. Проверить, лежит ли прямая Вариант 2 1. Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2). 2. Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату прямой 3. Найти расстояние между параллельными прямыми 4. Даны уравнения сторон треугольника: 5. Плоскость a проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость b задана уравнением 6. Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями. 7. Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А (1; -5; 3) и образует с осями координат ОХ и OY углы, соответственно равные 10. Показать, что прямые 11. При каком значении А плоскость Вариант 3 1. В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6) и С (1;-5). Составить уравнения его сторон. 2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой 3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 4. Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ. 5. Плоскость a проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и С (5; 4; -2), плоскость b проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними. 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам 7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и ОУ угол a = 150° и b = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 ед. Указать особенность в расположении плоскости. 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением 10. При каких значениях В и n прямая 11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-4; -7; 1) и параллельно прямой Вариант 4 1. В треугольнике АBС известны вершины А(-3; -4), В(1; -2) и С(7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС, и медианы, проведенной из вершины В. 2. Составить уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой 3. Стороны треугольника выражаются уравнениями 4. Через начало координат провести прямые, образующие с прямой 5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки М (0; 1; 3) и N (2; 4; 5), и построить её. Найти расстояние точки А (3; 2; -5) до построенной плоскости. 6. При каком значении l плоскости a и b будут перпендикулярны? Плоскость a проходит через точки К (-1; 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-2; 7; 3) параллельно плоскости 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Найти угол между прямыми 10. Даны вершины четырехугольника: A (-4; -3; -2), B (2; -2; -3), C (-8; -5; 1), D (4; -3; -1). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны. 11. Найти значение m, при котором прямая Вариант 5 1. Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС, и медианы, проведенной из вершины С. 2. Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 3. Дана прямая 4. Найти острый угол между прямой 5. На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору 6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки A (1; 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Найти угол между прямой 10. Найти проекцию точки М (-6; 5; 7) на прямую 11. Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон. Вариант 6 1. Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А. 2. Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки. 3. Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой 4. Проверить, что прямые 5. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы b = 60° и g = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние р от начала координат до неё равно 8 единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; 6. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью a, проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью a и плоскостью XОY. 7. Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Найти точку пересечения прямой 10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 5; -1) и перпендикулярно прямой 11. Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD. Вариант 7 1. Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне. 2. Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой. 3. Известны уравнения сторон треугольника: 4. Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3; 4) и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD. 5. Две из граней куба расположены на плоскостях 6. Найти угол между плоскостью 7. Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (-4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями. 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Найти угол прямой 10. При каком значении n прямые 11. Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; -1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что ABCD есть трапеция и найти длины её оснований. Вариант 8 1. Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции. 2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой 3. Через точку пересечения прямых 4. Определить острый угол, под которым пересекаются прямые АВ и СD, если А (2; 4), В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2). 5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью XOZ. 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В ( 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости 10. При каком значении m прямые 11. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую Вариант 9 1. Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину. 2. Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду. 3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4; 1)и образующей угол 5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей 6. Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1; 4) и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD. 7. Плоскость a проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает на осях координат равные отрезки. Плоскость b задана уравнением, 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5). Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями AC и BD. 10. При каких значениях В и С прямая 11. При каких значениях А и С прямая Вариант 10 1. Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; 2. Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба. 3. Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М(-1; 7) и N(3; -1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ? 4. Вычислить угол между прямыми 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору 6. При каком значении m угол между плоскостями a и b равен 7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости ХОY. 8. Написать канонические уравнения прямой: 9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий вектор 10. В плоскости XOZ найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямой 11. При каком значении С плоскость Вариант 11 1. Показать, что точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) и Q (-1; 0) являются вершинами трапеции. Найти уравнение высоты трапеции, её длину. 2. Найти угол наклона к оси ОХ .и начальную ординату прямой 3. Определить, какие из уравнений прямой являются нормальными: 4. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 5. Найти такое число a, чтобы плоскость 6. Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью a и плоскостью XOZ. 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно векторам 8. Написать канонические урав
|
|||
|