Универсальная тригонометрическая подстановка.

1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

Пусть дано выражение, зависящее, причем рационально только от тригонометрических функций. Так как все тригонометрические функции рационально определяются через и , то это выражение можно считать рациональной функцией от и .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда

Таким образом:

С помощью указанной подстановки очень удобно вычислять . Рассмотренная подстановка дает возможность интегрировать всякую функцию . Поэтому её называют универсальной тригонометрической подстановкой.