Системы счисления

1.1.Системы счисления

Теоритические сведения

Система счисления -это система знаков, служащих для изображения чисел и подчиняющихся определённым правилам действий над ними.

Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления – это системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа, НЕ зависит от её позиции.

Например, римская система счисления:VI, IV: цифра V – на первом месте и на втором обозначает 5. Величина числа в непозиционной системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе.

Алфавит римской системы счисления:I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M- 1000.

Недостатки непозиционных систем счисления:неоднозначность записи числа (например, число 8 можно записать:VIII или IIX); неудобно складывать, вычитать и тем более умножать, делить, извлекать корень и т.д.

Позиционные системы счисления – это системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции.

Например, десятичная система счисления: 54 и 15 – цифра 5 на первом месте обозначает 50 (5 десятков), а на втором 5 (5 единиц)

Достоинства позиционных систем счисления: удобно производить математические вычисления.

Алфавит системы счисления- набор символов, используемых, для изображения цифр (начиная с нуля).

Основание позиционной системы счисления – количество цифр в её алфавите.

Основание	Система счисления	Алфавит
n = 10	Десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 2	Двоичная	0 1
n = 5	Пятеричная	0 1 2 3 4
n = 8	Восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n = 13	Шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C D E F
n = 16	Тринадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C

Примечание. В системах счисления с основанием, большем 10, после цифры 9 начинают следовать буквы латинского алфавита, а затем и другие символы, если основание системы счисления больше 36 ( т.к. нужны ещё цифры, а 10,11,12 и т.д. – уже числа). Таким образом буква А заменяет 10, В-11 и т.д.:

Любое десятичное число можно записать в виде суммы произведений цифр числа на соответствующую степень 10 ( основание десятичной системы счисления). Например.

Аналогично, любое число в системе счисления с произвольным основанием «а» можно представить в развёрнутом виде – в виде многочлена относительно степеней основания системы счисления.