Интегрирование по частям.

§6 Интегрирование по частям.

Теорема1. Пусть функции и непрерывные на некотором промежутке, дифференцируемые внутри его и на этом промежутке существует интеграл , тогда на нем существует и интеграл , причем (1)

Доказательство:

Пусть функции , имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Тогда функция имеют непрерывную производную на этом же промежутке и согласно правила дифференцирования произведения, выполняется равенство:

Отсюда следует, что произведение - первообразная для . Тем самым

Откуда , т.к. и , то

ПостояннуюС в правой части равенства мы не пишем, т.к. туда входит (1) интеграл, а он уже содержит в себе произвольную постоянную.

Замечание 1. Формула (1) есть формула интегрирования по частям . К числу интегралов которые вычисляются интегрированием по частям, относятся, например, интегралы вида , , ; где P(x)-многочлен, f(x)- одна из следующих функций:

sinax, cosax, lnax, arctgax, arccosax, .

В принципе всегда подынтегральное выражение любого интеграла можно разбить на и . Поэтому ясно, что формула интегрирования по частям дает эффект тогда, когда вычислить проще, чем . При этом нужно иметь в виду , что, зная , нужно суметь найти . При нахождении по можно считать, чтоС = 0.

Примеры.

3) стр.13-14 №30-32

4) стр.13 №30

5) стр.13 №31 (голубое пособие)

Иногда формулу интегрирования по частям применяют несколько раз.

Примеры

7) стр.14 №32

Если после применения формулы интегрирования по частям окажется, что интеграл взять труднее, чем данный интеграл , нужно разбить подынтегральное выражение на и иначе и вновь применить формулу интегрирования по частям.

Иногда бывает, что интегрирование по частям приведет вновь к исходному интегралу. В этом случае интегрирование следует прекратить и решить линейное уравнение относительно искомого интеграла.

Примеры.

Итак, получили:

Решаем уравнение относительно искомого интеграла.

Получили равенство относительно искомого интеграла I, решив которое, получим:

Откуда

11)

Т.о.

Иногда интегрирование по частям позволяет получить отношение между неопределенным интегралом, который содержит степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени этой же функции. Эти соотношения называются рекурентными формулами.

Пример 12. Найти рекурентную формулу для вычисления интеграла

Откуда

Эта формула позволяет вычислить интеграл с помощью интеграла . Где - интеграл с любым натуральным индексом и

Рассмотрим интеграл вида , где P(x) – многочлен.

Пример 13.

стр.15 №34 (голубое пособие)

Для вычисления интегралов такого типа можно пользоваться методом неопределенных интегралов.

Пример 14. Найти метолом неопределенных коэффициентов.

Будем полагать, что

Продифференцируем это равенство и получим:

или

.

Прировняем коэффициенты при одинаковых степенях x, получим ситему для вычисления коэффициентов A,B,C:

.

Т.о. получим: .

Методом неопределенных коэффициентов можно использовать для интегралов вида ,

.