Итерационные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Итерационные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Метод Зейделя

Постановка задачи

Возьмём систему: , где

Или

И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.

Метод

Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде:

Здесь в -м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие , для . Эта запись может быть представлена:

где в принятых обозначениях означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы , а все остальные нули; тогда как матрицы и содержат верхнюю и нижнюю треугольные части , на главной диагонали которых нули.

Итерационный процесс в методе Гаусса-Зейделя строится по формуле после выбора соответствующего начального приближения .

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации: