Способ подстановки (замены переменных).

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскатьпервообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

правая часть данного равенства есть сложная функция от «х»; t-промежуточная переменная.

Если интеграл в правой части окажется табличным, то задача будет решена.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример 2.

Замена Получаем:

Пример 3.

Пример 4.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v– некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. По частям берутся интегралы вида:

В этих интегралах в качестве u всегда берется

Пример.

Здесь за uвсегда принимают обратную тригонометрическую функцию.

За u принимают lnx.

Пример:

По частям берутся также интегралы вида:

Двукратным применением формулы интегрирования по частям эти интегралы приводятся сами к себе (т.н. интегралы возврата). Получается алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла.

Пример:

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

⇐ Предыдущая 12