ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

ПЛАН ЛЕКЦИИ

I. Определение дробно-рациональной функции. Простейшие дроби

II. Разложение правильной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов

III. Интегрирование простейших дробей

IV. Правила интегрирования дробно-рациональных функций

V. Метод Остроградского

I. Определение дробно-рациональной функции. Простейшие дроби.Дробно-рациональной функцией называется функция вида

, (1)

где – многочлены степеней m и n соответственно. В дальнейшем считаем, что коэффициенты этих многочленов действительные числа, и .

Если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , то дробь (1) называют правильной. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, т.е. , то дробь называют неправильной. В последнем случае, выполняя деление числителя на знаменатель, дробь (1) можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшими дробями называют дроби следующих четырех типов:

1. , 2. , 3. , 4. ,

где .

II. Разложение правильной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов. Всякую правильную рациональную дробь можно представить как алгебраическую сумму простейших дробей. Ранее было показано, что всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные и квадратичные множители. Представим в виде такого разложения знаменатель дроби (1):

(2)

где - действительные корни многочлена кратностей соответственно, а квадратные трехчлены соответствуют комплексно сопряженным корням этого многочлена с кратностями .

Тогда дробь (1) можно представить как сумму следующих простейших дробей:

Последнее соотношение представляет собой тождество при определенном выборе постоянных . Константы могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Этот метод состоит в том, что дроби в правой части приводятся к общему знаменателю, который в силу (2) равен . Тогда в левой и правой частях получим две дроби с равными знаменателями и, следовательно, с равными числителями. Приравнивая к многочлену с неопределенными коэффициентами , получим систему уравнений относительно .

Пример 1. Разложить на простейшие дробь .

Решение:

Приравняем числители:

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x:

x³: 1=A+M 2=2NN=1

x²: 4=A+B+2M+N 2=2M M=1

=> =>

x : 3=A+M+2NA=1-MA=0

x⁰: 2=A+B+NB=2-A-NB=1

Тогда:

III. Интегрирование простейших дробей. Рассмотрим интегралы от простейших дробей четырех типов:

1) ;

2) ;

Найдем

или

Получим рекуррентную формулу

, (3)

позволяющую интеграл свести к интегралу .

Применяя соотношение (3) n раз, интеграл можно свести к табличному интегралу

Пример 2. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой (3) для :

Тогда:

IV. Правила интегрирования дробно-рациональных функций. Сформулируем общие правила интегрирования таких функций:

1) определяем, является ли рассматриваемая дробь правильной или неправильной; в случае, когда дробь неправильная, представляем ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;

2) правильную рациональную дробь представляем как сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами;

3) коэффициенты разложения находим по методу неопределенных коэффициентов;

4) интеграл от исходной дроби в общем случае представляется как сумма интегралов от многочлена (если ) и от простейших дробей.

Пример 3. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

1. Интегрируемая дробь является неправильной, поэтому разделим числитель на знаменатель и получим . (4)

2. Разложим правильную дробь на простейшие:

;

x²: 0=A+B+CA=2 A=2

x : 3=B-C => 2B=1 =>

x⁰: -2=-A C=B-3

Получим . (5)

3. С учетом (4) и (5) найдем интеграл

V. Метод Остроградского.Русским математиком Михаилом Васильевичем Остроградским предложен метод интегрирования рациональных дробей, который значительно упрощает задачу в том случае, когда знаменатель имеет кратные корни. В соответствии с этим методом интеграл от дробно-рациональной функции представим в виде

, (6)

где

Многочлены и являются многочленами с неопределенными коэффициентами, степень которых на единицу меньше степеней многочленов и соответственно. Коэффициенты этих многочленов можно найти, продифференцировав равенство (6), методом неопределенных коэффициентов.

Пример 4. Найти интеграл методом Остроградского.

Решение. В соответствии с формулой (6) представим интеграл как сумму

Найдем производные от левой и правой частей записанного равенства:

или после преобразований

Приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства и приравняем числители

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему для определения коэффициентов :

Решая эту систему, находим . Искомый интеграл равен