Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

10 класс

1. Докажите неравенство:

2. В трапеции AВCD основания ВC и AD равны соответственно 1 и 2. Точка O – точка пересечения диагоналей. Площадь треугольника ABO равна 3. Найти площадь треугольника BOC.

3. Десятичная запись числа представляет собой 2014 единиц и затем 2014 двоек: 11 … 1122 … 22. Докажите, что это число равно произведению двух последовательных целых чисел.

4. Решите систему уравнений:

5. Дан набор, состоящий из нечётного числа n положительных чисел ( ) таких, что если каждое число в наборе заменить на произведение остальных, то получится тот же набор. Докажите, что в этом наборе есть число 1.