![]()
|
|||||||
Тема: Логарифмические неравенстваСтр 1 из 2Следующая ⇒ Тема: Логарифмические неравенства Дата: 26.10.2020 г. Группа: ПЦ-262 Студенты должны знать: понятия логарифма, свойства логарифмов. Студенты должны уметь:применять свойства логарифмов при решении практических заданий; решать логарифмические уравнения и неравенства. Самостоятельная работа 5-7мин 1) log55; 1 2) log93; 0,5 3) log1/416; -2 4) log61. 0 2.Теоретическая часть Если при решении логарифмических уравнений можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:
Если основание логарифма больше единицы (
равносильно системе:
равносильно системе:
Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств. 1. Решим неравенство:
Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:
Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля. Решим систему неравенств:
Отсюда: Ответ: 2. Решим неравенство:
Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:
Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).
Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:
Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:
Отсюда:
3. Решим неравенство: В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных. Сначала приведем логарифмы к одному основанию: Введем замену переменных:
Запишем это двойное неравенство в виде системы:
Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма: Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.
Первое неравенство системы преобразуется к виду
|
|||||||
|