Тема: Логарифмические неравенства

Тема: Логарифмические неравенства

Дата: 26.10.2020 г.

Группа: ПЦ-262

Студенты должны знать: понятия логарифма, свойства логарифмов.

Студенты должны уметь:применять свойства логарифмов при решении практических заданий; решать логарифмические уравнения и неравенства.

1.Актуализация знаний

Самостоятельная работа 5-7мин

1) log₅5; 1

2) log₉3; 0,5

3) log_1/416; -2

4) log₆1. 0

2.Теоретическая часть

Если при решении логарифмических уравнений можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

V где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы ( ) , то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

равносильно системе:

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы ( ), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

равносильно системе:

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим неравенство:

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

Корни квадратного трехчлена:

Отсюда:

Ответ:

2. Решим неравенство:

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

Отсюда:

Ответ:

3. Решим неравенство:

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

Введем замену переменных:

Получим квадратное неравенство:

Значит,

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значения

Второе неравенства преобразуется к виду , отсюда

Ответ:

12 Следующая ⇒