Остатки и модули.

Остатки и модули.

1) В вершинах n-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что a) n чётно; б) n делится на 4.

2) В комнате стоят трёхногие табуретки и четвероногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног.
Сколько в комнате табуреток?

3) Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

4)Решить в целых числах уравнение:

5)Фокусник вручает вам конверт с листочком и просит вас задумать натуральное число . Затем (не зная ваше число) сообщает вам число . Потом он просит вас посчитать

и записать на листочке последнюю цифру полученного числа. После чего зритель открывает конверт и видит, что там записана та же цифра. Каким образом удается этот фокус?

6) В строку выписано 1000 натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел. Всегда ли такими операциями можно сделать все числа равными?

а) ; б) .

7)На столе лежит кучка из камней. Двое по очереди берут за ход или один камень, или количество камней, равное какому-то простому делителю . Выигрывает взявший последний камень. При каких первый игрок может выиграть независимо от действий оппонента?

(турнир городов, базовый тур, 8-9 класс, никто не решил у нас =( )

8) Решить в натуральных числах уравнение