Ключи к заданиям муниципального этапа

Ключи к заданиям муниципального этапа

Всероссийской олимпиады по астрономии

2020-2021 учебного года

10 класс

1 задание (8 баллов).

При наблюдении с борта космического корабля было замечено, что у некоторой звезды звездная величина увеличилась на 1 за 30 суток. Определите, с какой скоростью корабль удаляется от этой звезды, если первоначальное расстояние составило 10 парсек? Возможно ли такое, в предположении, что звезда не является переменной и корабль может двигаться только на субсветовых скоростях?

Решение

Вспомним формулу Погсона: , где E – освещенности, создаваемые двумя источниками, а m – звездные величины. В нашем случае, источник один и тот же, но расстояние до него меняется. По закону обратных квадратов, . Известно, что за 30 суток звездная величина увеличилась на 1^m, а первоначальное расстояние было 10 парсек. парсек. Теперь найдем скорость парсек/сутки. Данная скорость на два порядка выше скорости света, так что в наблюдениях ошибка – вероятно, звезда все-таки переменная.

Формула Погсона (запись для освещенности) – 2 балла

Расширение формулы для расстояний – 3 балла

Вычисление расстояний – 1 балл

Вычисление скорости – 1 балл

Верное сравнение со скоростью света – 1 балл

2 задание (8 баллов).

Венера обращается вокруг своей оси за 243 дня, а вокруг Солнца – 225 дней. Определите, через какой промежуток времени на Венере можно наблюдать одноименную (например, верхнюю) кульминацию Солнца, если не перемещаться по поверхности планеты, а находиться в одной точке.

Решение

Известно, что Венера обращается вокруг Солнца против часовой стрелки, а вокруг оси – по часовой стрелке. Период обращения планеты вокруг оси называют звездными сутками, а промежуток времени между двумя одноименными кульминациями Солнца – солнечными сутками. Фактически, нам необходимо найти угловую скорость движения Солнца в небе Венеры.

, где w₁ – угловая скорость обращения Венеры вокруг оси, w₂ – угловая скорость обращения Венеры вокруг Солнца, W – угловая скорость Солнца в небе Венеры. Угловые скорости складываются по причине того, что оба движения друг навстречу другу.

, где S – солнечные сутки, а T₁ – период обращения Венеры вокруг оси (звездные сутки), T₂ – период обращения Венеры вокруг Солнца (звездный год). Подставляем:

Воспоминания о том, что Венера обращается по часовой стрелке – 2 балла

Выражение для угловых скоростей – 3 балла

Выражение для периода – 2 балла

Правильный ответ (вычисления) – 1 балл

3 задание (8 баллов).

Определите размер зоны обитания (области космического пространства вокруг звезды, где температуры лежат в пределах от 0 до 100 градусов Цельсия – достаточные, чтобы поддерживать воду в жидком агрегатном состоянии при нормальных атмосферных условиях) для Солнечной системы. Считать, что вся энергия, получаемая от Солнца, полностью поглощается, рассеиванием света и парниковым эффектом пренебречь. Сравните полученные данные с температурными условиями на Земле.

Решение

Запишем светимость Солнца через ее радиус и температуру поверхности, используя закон Стефана-Больцмана

Определим количество энергии за секунду (освещенность), которую создает Солнце на определенном расстоянии на один квадратный метр.

Если вся энергия, получаемая от Солнца, полностью поглощается, значит, она полностью идет на нагрев и отражения нет. Если вся энергия идет на нагрев, поверхность прогреется до определенной температуры и будет излучать ровно столько же энергии в инфракрасном диапазоне. Запишем светимость уже для поверхности потенциальной планеты.

Здесь T₂ – температура поверхности. Нам было предложено выбрать 0 и 100 градусов Цельсия (273 и 373 Кельвина). Подставляем и получаем – 305 млн км и 163 млн км. Как это можно заметить, не учитывать альбедо в таких расчетов нельзя – так как Земля получается вне зоны жизни.

Закон Стефана-Больцмана – 2 балла

Выражение для освещенности – 2 балла

Предположение о связи энергии поглощаемой и излучаемой – 2 балла

Верные вычисления – 1 балл

Указание на неадекватность оценки – 1 балл

4 задание (8 баллов).

Римский республиканский календарь состоял из 12 полных лунных циклов, т. е. 355 дней. Чтобы избежать накопления ошибки календарной весны относительно астрономической, раз в два года вводился дополнительный месяц – Мерцедоний, состоящий поочередно из 22 и 23 дней. Определите среднюю продолжительность такого календаря, его ошибку относительно тропического года и за какой промежуток времени накопится ошибка в одни сутки.

Решение

Разберем систему календаря. В основе 355 дней, во второй год добавляется дополнительный месяц из 22 дней (377 дней), а в четвертый дополнительный месяц из 23 дней (378 дней). Таким образом, цикл выглядит так . Ошибка относительно тропического года (365,2422 дня) составляет более суток, таким образом, ошибка в одни сутки накопится за 1 год.

Правильный порядок в цикле – 3 балла

Средняя продолжительность – 3 балла

Ошибка в одни сутки – 2 балла

5 задание (8 баллов).

В некоем месте на поверхности Земли произошел взрыв, вызвавший стремительно поднимающееся облако пыли. Облако имело скорость вертикального развития порядка 300 метров в секунду. Определите, через какой промежуток времени после взрыва облако станет заметным на удаленной от эпицентра станции на расстоянии 200 километров. Атмосферной рефракцией пренебречь.

Решение

R – радиус Земли (6378 километров), L – расстояние в 200 километров от станции до эпицентра взрыва (по поверхности Земли), H – высота, на которую поднялось облако. Найдем центральный угол, который опирается на дугу L.

Таким образом, . Таким образом, потребуется 10 секунд, чтобы увидеть облако с удаленной станции.

Учет кривизны Земли (построение для сферического случая) – 3 балла

Построение треугольника и выражение угла – 3 балла

Нахождение времени – 2 балла

Внимание! В случае, если участник получает угол и используя его малость предполагает, что расстояние по поверхности планеты численно равно линейному расстоянию – данное решение не является причиной для снижения баллов.

6 задание (8 баллов).

В ближайших окрестностях Солнца (5 парсек) находятся 57 звездных систем, в которых обнаружены 64 звезды и 13 коричневых карликов. Только 4 звезды в этой области относятся к классу G. Если мы знали только эту статистику, определите какое количество звезд спектрального класса G по нашим оценкам находились бы во всем Млечном пути?

Решение

Диаметр Млечного пути – 100000 световых лет, данная величина в парсеках будет выражена как 30650 парсек. Так как галактика представляет собой тонкий диск (а не сферу), найдем площадь Млечного пути - – почти 2,95 млрд квадратных парсеков. А вот площадь окрестностей Солнца – 78 квадратных парсеков. По нашей статистике в Млечном пути получится 37,8 млн солнцеподобных звезд. Конечно же, это значительно меньше, чем считается в настоящее время.

Понимание, что нужно считать площади, а не объемы – 3 балла

Нахождение площади Млечного пути – 3 балла

Оценка количества звезд – 1 балл

Утверждение, что полученное число мало – 1 балл