Дисциплина: Математика и информатика

Дисциплина: Математика и информатика

Преподаватель: Ткаченко Е.А.

Урок № 11-12

Тема: «Двоично-кодированные системы. Правила двоичной арифметики».

Цель: дать представление о двоичной арифметике, продемонстрировать обучающимся преимущества с точки зрения технической реализации двоичной арифметики по сравнению с десятичной.

План урока:

1. Объяснение нового материала.

Арифметика двоичных чисел.

Рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Сначала отметим, что 1₂+1₂=10₂. Почему? Во-первых, вспомним, как в привычной десятичной системе счисления появилась запись 10. К количеству, обозначенному старшей цифрой десятичного алфавита 9, прибавляем 1. Получается количество, для обозначения которого одной цифрой в алфавите цифр уже не осталось. Приходится для полученного количества использовать комбинацию двух цифр алфавита, то есть представлять данное количество наименьшим из двухразрядных чисел: 9₁₀+1₁₀=10₁₀. Аналогичная ситуация складывается в случае двоичной системы счисления. Здесь количество, обозначенное старшей цифрой 1₂двоичного алфавита, увеличивается на единицу. Чтобы полученное количество представить в двоичной системе счисления, также приходится использовать два разряда. Для наименьшего из двухразрядных чисел здесь тот же единственный вариант: 10₂. Во-вторых, важно понять, что 10₂_?10₁₀. Строго говоря, в двоичной системе счисления это и читать надо не “десять”, а “один ноль”. Верным является соотношение 10₂ = 2₁₀. Здесь слева и справа от знака равенства написаны разные обозначения одного и того же количества. Это количество просто записано с использованием алфавитов разных систем счисления – двоичной и десятичной. Вроде, как мы на русском языке скажем “яблоко”, а на английском про тот же предмет – “apple”, и будем правы в обоих случаях.

Сложение в двоичной системе счисления. После этих предварительных рассуждений запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одноразрядных чисел:

0+ 0 = 0; 1+ 0 = 1; 0+ 1 = 1; 1+ 1 = 10.

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Пример 1 Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

1001 1101 11111 1010011,111

+ + + +

1010 1011 1 11001,110

10011 11000 100000 1101101,101

Вычитание в двоичной системе счисления. Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0 – 0=0; 1 – 0=1; 1 – 1=0; 10 – 1=1.

Используя это правило, можно проверить правильность произведенного выше сложения вычитанием из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы вычесть в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо “занимать” недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большего числа из меньшего).

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.

Пример 2. Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

10111001,1–10001101,1=101100,0

101011111–110101101= –1001110

–

10111001,1 110110101

10001101,1 101011111

00101100,0 001010110

Умножение в двоичной системе счисления. Правила умножения одноразрядных двоичных чисел наиболее очевидны:

0×0=0; 1×0=0; 0×1=0; 1×1=1.

Умножение.Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример 3. Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

11001×1101=101000101

11001,01×11,01=1010010,0001

11001 11001,01

1101 11,01

11001 1100101

11001 1100101 .

101000101 1010010,0001

Вы видите, что умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

Деление в двоичной системе счисления осуществляется так же, как и в десятичной, с использованием умножения и вычитания.

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Пример 4. Рассмотрим пример деления двоичных чисел:

101000101 : 1101 = 11001	101000101	1101
	-1101

1110

1101

12 Следующая ⇒