Миноры и алгебраические дополнения.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Минором элемента a_ij называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-ой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента a_ij определителя n-го порядка имеет порядок (n-1). Будем его обозначать через M_ij .

Пример 1. Пусть , тогда .

Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется соответствующий минор, умноженный на (-1)ⁱ⁺^j т.е. A_ij=(-1)ⁱ⁺^j M_ij, где i –номер строки и j -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Назовем алгебраическим дополнением любого элемента определителя D минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если сумма номеров элемента четная и минус в противном случае

( 1.6)

Пример. Выписать и вычислить все алгебраические дополнения определителя .

Решение. У определителя третьего порядка имеется 9 алгебраических дополнений (по каждому из элементов).

Свойства алгебраического дополнения матрицы

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

n
Σ	a_ij·A_ij = det(A)
j = 1

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

n
Σ	a_kj·A_ij = 0 (i ≠ k)
j = 1

Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана "произвольная" строка.

Пример . Задана матрица

Найти минор элемента , алгебраическое дополнение элемента .

Минором элемента является определитель матрицы, полученной вычеркиванием из матрицы А первой строки и третьего столбца:

Алгебраическое дополнение элемента найдем по формуле: