Интегрирование некоторых иррациональностей.

Интегрирование некоторых иррациональностей.

Освободиться от иррациональностей под знаком интеграла в ряде случаев можно с помощью определенной подстановки, после чего получаются интегралы от рациональной дроби.

1. Интегралы вида вычисляются подстановкой = , т.е. степень у новой переменной t выбирается как наименьшее общее кратное чисел

Примеры:

Разделим

Тогда

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

:

Const :

2. Интегралы вида могут быть вычислены с помощью метода неопределенных коэффициентов:

где многочлен с неизвестными коэффициентами.

Продифференцируем:

Приравняем числители:

Из этого тождества находятся коэффициенты многочлена и

Пример.

Продифференцируем:

Приравняем числители:

Тогда




Const:

Получим

3. Тригонометрические подстановки.

Интегралы вида

вычисляются подстановкой

в)

Примеры:

1.
2.
3.	Тот жe интеграл с другой заменой:

Интегрирование тригонометрических функций.

I. Интегралы вида , где R — рациональная функция, всегда можно свести к интегралу от рациональной дроби при помощи «универсальной» подстановки:

Тогда берется всегда, т.е. выражается через элементарные функции.

Примеры:

1.
2.

II. Иногда удобнее воспользоваться другими подстановками:

а) Если подынтегральная функция обладает свойством нечетности относительно sinx, т.е. R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx), то делают замену cosx = t.

К этому типу интегралов относятся также интегралы видов:

Примеры:	Вычислить Таким образом подынтегральная функция является нечетной относительно sinx. И тогда Разделим
2.

б) Подынтегральная функция является нечетной относительно cosx, т.е.

R(sinx,-cosx)= -R(sinx,cosx). В этом случае лучше применять подстановку sinx=t.

К этому типу интегралов относятся интегралы видов:

Примеры:

1.
2.

в) Подынтегральная функция является четной относительно sinx и cosx одновременно, т.е. R(-sinx,-cosx)=+R(sinx,cosx). В этом случае применяется подстановка tgx=t. Тогда