Группа 1БУ-67. Тема: Решение тригонометрических неравенств.. Пример 1

Группа 1БУ-67

Тема: Решение тригонометрических неравенств.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения и законспектировать их.

2. Записать примеры выполнения заданий.

3. Выполнить задания.

4. Выполненные задания сфотографировать и отправлять на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС https://vk.com/tryufelka83 социальной сети VKontakte.

5. Выполненные задания сдать до: 03.12.

Учебник: Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

https://uchebnik-skachatj-besplatno.com/Алгебра/Учебник%20Алгебра%2010-11%20класс%20Алимов%20Колягин/index.html#prettyPhoto

С. 194-196

Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

1) sinx ≥ - ;

t₁ < t₂;

t₁ = arcsin(- ) = - ;

t₂ = p + = ;

- + 2pn ≤ х ≤ + 2pn, n Î Z.

2) cosx ≥ - ;		t₁ > t₂; t₁ = arccos(- ) = p - arccos = = p - = ; t_{2 = -} ; - + 2pn ≤ х ≤ + 2pn, n Î Z.
3) cosx < ;		t₁ < t₂; t₁ = arccos = ; t_{2 =}2p - = ; + 2pn < х < + 2pn, n Î Z.
4) sinx < ;	t₁ > t₂; t₁ = arcsin = ; t_{2 =}-p - = - ; + 2pn < х < + 2pn, n Î Z.

Теперь более сложные примеры.

Пример 1

Решим неравенство

Обозначим аргумент косинуса и получим простейшее тригонометрическое неравенство Решим это неравенство. На единичной окружности по оси абсцисс отложим значение и построим соответствующие углы Тогда неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции cos y и получим решения

Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство Ко всем частям неравенства прибавим число π/6. Отсюда Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется. Получим: или где n ∈ Z.

Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.

Пример 2. cos²2x – 2cos2x ≥ 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесениемобщего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) ≥ 0.

Замена: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию ≤ 1.